2. BÀI TOÁN CÂY STEINER
2.3. Hệ số Steiner cho trường hợp ba điểm
Như trên đã nói, hệ số Steiner là con số cho biết cho ta biết cây Steiner tích kiệm được bao nhiêu chi phí so với cây khung cực tiểu tương ứng cho cùng một tập điểm đầu vào. Một cách toán học, hệ số Steiner được định nghĩa như sau.
Ký hiệu: Ls(P) là độ dài của cây Steiner cho tập điểm đầu vào P. Lm(P): là độ dài cây khung cực tiểu của tập điểm P.
Khi đó hệ số Steiner được định nghĩa ρ = inf
Gilbert và Pollack trong nghiên cứu của mình vào năm 1968 đã dự đoán rằng ρ không thể nhỏ hơn hay ( ) đối với bất kỳ tập điểm P nào trên mặt phẳng và dự đoán này đã được Du và Hwang chứng minh tính đúng đắn vào năm 1990. Trong chứng minh của mình, Du và Hwang đã đề xuất một nguyên lý minimax mới được giới toán học lúc bấy giờ đánh giá rất cao, thậm chí vào thời điểm đó Du và Hwang còn nhận được phần thưởng của cá nhân chủ tịch hiệp hội toán học Hoa Kỳ lúc đó là giáo sư Ronald L. Graham[25] cho công trình của mình. Do nguyên lý minimax không phải là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này nên sẽ không được đề cập, Phần sau đây chỉ trình bày phần chứng minh cho dự đoán của hai tác giả Gilbert và Polllack áp dụng với trường hợp bài toán của Fermat.
Chứng minh:
Hình 1.18. Cây Steiner cho ba điểm.
Theo cách giải của Heinen, cho ba điểm sẽ dựng được một điểm Steiner như trong hình 1.19
Không mất tính tổng quát, cho rằng AS là cạnh nhỏ nhất trong ba cạnh nối các đỉnh của tam giác ABC với điểm Steiner S, nghĩa là |AS| = min{|AS|,|BS|,|CS|}. Trên các cạnh BS và CS lần lượt dựng các điểm B’ và C’ sao cho |SA|=|SB’|=|SC’|. AB’C’ là một tam giác đều có S là trọng tâm đồng thời cũng là điểm Steiner của bộ ba điểm A, B’, C’(hình 1.20).
Hình 1.19. Minh họa cho lời giải bài toán tìm hệ số Steiner. Khi đó
Ls(A,B,C) = AS + BS + CS
=AS + B’S + C’S + BB’ + CC’
= Ls(A,B’,C’) + BB’ + CC’
Vì S là trọng tâm của tam giác AB’C’ nân: Ls(A,B’,C’)= (AB’+AC’) + BB’ + CC’
(AB’+AC’) + BB’ + CC’ (AB’+BB’+AC’+CC’)
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: (AB’+BB’) AB và (AC’+CC’) AC nên
Ls(A, B, C) ³ (AB+AC) = Lm(A,B,C) Vì vậy
Ls(A, B, C) ³ Lm(A,B,C) (đpcm) ■