a. N-tích của toán tử trường
N-tích là một tích trong đó các toán tử thừa số sinh đứng bên trái thừa số huỷ nhưng mỗi lần chuyển hai toán tử Boson cho nhau thì không đổi dấu, khi chuyển hai toán tử Fermi cho nhau thì đổi dấu.
• Ví dụ: GọiB, B+: toán tử huỷ và sinh Boson; F, F+: toán tử huỷ và sinh Fermion: N(B1B2) =B1B2 N(B1B2+) =B2+B1 N(B1+B2B3+) =B1+B3+B2 N(B1F1+) =F1+B1 N(F1F2+) =−F2+F1 N(B1F1B2+F2F3+) = B2+F3+B1F1F2 • Tính chất: h0|N{...}|0i= 0 (3.15)
b. T-tích
T-tích là một tích trong đó các toán tử sắp xếp theo thứ tự giảm dần của thời gian nhưng cứ mỗi lần hoán vị 2 toán tử spinor cho nhau thì thêm thừa số σP
T{A1(t1)A2(t2)...An(tn)}=σPP{A1(t1)A2(t2)...An(tn)} (3.16) σP = +1 nếu số phép hoán vị là chẵn. σP =−1 nếu số phép hoán vị là lẻ. • Ví dụ: T{φ(x)φ(y)}=σPP{φ(x)φ(y)}= φ(x)φ(y) (x0 > y0) φ(y)φ(x) (y0 > x0) . T{ψα(x)ψβ(y)}= ψα(x)ψβ(y) (x0 > y0) −ψβ(y)ψα(x) (y0 > x0) c. Định lý Wick Định lý Wick 1
T-tích của các toán tử bằng tổng các N-tích của chúng với mọi cách chứa các cặp đôi khả dĩ.
T[A(x).B(x)] = N[A(x).B(x)] +A(x).B(x) (3.17) trong đó, cặp đôi được định nghĩa thông qua hệ thức:
A(x).B(x) = h0|T[A(x).B(x)]|0i (3.18)
• Liên hệ giữa cặp đôi và hàm truyền Feyman
∆F(z, m) = 1 (2π)4 Z ε→+0 d4k e −ikz k2−m2 +iε - Trường vô hướng trung tính:
φ(x)φ(y) = i∆F(x−y, m)
- Trường vô hướng mang điện:
φ+(x)φ(y) = φ(y)φ+(x) =i∆F(x−y, m);φ(x)φ(y) =φ+(x)φ+(y) = 0 - Trường spinor: ψα(x)ψβ(y) =ψ+α(x)ψ+β(y) = 0 ψα(x) ¯ψβ(y) =−ψ¯β(y)ψα(x) =iSF(x−y, m) βα với SF(x−y, m) β α= i∂ˆz+mβ α∆F(z, m);
- Trường điện từ:
Aµ(x)Aν(y) =−iηµν∆F(x−y,0)
• Cặp đôi hai trường khác nhau:A(x)B(y) = 0
? Khai triển các T-tích sau dưới dạng các N-tích và các cặp đôi: T{ϕ1(x1)ϕ2(x2)}
T{φ(x)φ(y)φ(z)}
T{φ+(x)φ(y) ¯ψα(z)ψβ(u)Aµ(v)}
Định lí Wick 2
T-tích hổn hợp có thể khai triển như T-tích bình thường nhưng khi đó phải loại đi các số hạng chứa các cặp đôi giữa các thừa số trong cùng một N-tích.
- Ví dụ : T{N(ϕ1ϕ2)N(ϕ3ϕ4)} = N{ϕ1ϕ2ϕ3ϕ4} +ϕ1ϕ3N{ϕ2ϕ4} + ϕ1ϕ4N{ϕ2ϕ3} +
ϕ2ϕ4N{ϕ1ϕ3}+ϕ2ϕ3N{ϕ1ϕ4}+ϕ1ϕ3 ϕ2ϕ4+ϕ1ϕ4 ϕ2ϕ3
? Khai triển các T-tích sau dưới dạng các N-tích và các cặp đôi: T{N[ ¯ψα(x)ψβ(x)Aµ(x)]N[ ¯ψγ(y)ψδ(y)Aν(y)]}
d. Ứng dụng định lí Wick
Ta có thể áp dụng định lí Wick để biễu diễn số hạng khai triển của S-ma trận. Xét Lagrangian tương tác của trường điện từ:
Lint(ψ, Aµ) =e.N{ψ¯(x)γµψ(x)Aµ(x)} (3.19) viết dưới dạng N-tích để bảo đảm trung bình các đại lượng vật lý ở trạng thái chân không bằng 0.
Vì:
Tµν(int) = δLint
δ(∂µϕ)∂νϕ−Lintηµν =−e.N{ψγ¯ µψAµ}ηµν (3.20) Suy ra:
T(Lint)
00 =−Lint=−e.N{ψγ¯ µψAµ} (3.21) Vậy,
Hint(x) =T(Lint)
Khi đó, S =PneiR−∞∞ d4xLint(x)o =P∞ n=0 (−i)n n! R
d4x1d4x2...d4xnP{Lint(x1)Lint(x2)...Lint(xn)}
=P∞ n=0 (−i)nen n! R d4x1d4x2...d4xnP{N{ψ¯(x1)γµ1ψ(x1)Aµ1(x1)...ψ¯(xn)γµnψ(xn)Aµn(xn)} =P∞ n=0S(n) • n= 0 : S(0) = 1 • n= 1 : S(1) =ieR d4xN{ψ¯(x)γµψ(x)Aµ(x)} • n= 2 : S(2) =−1 2e 2R d4xd4yT{N( ¯ψ(x)γµψ(x)Aµ(x))N( ¯ψ(y)γνψ(y)Aν(y))} =−1 2e 2(γµ)βα(γν)δγR d4xd4yT{N( ¯ψα(x)ψβ(x)Aµ(x))N( ¯ψγ(y)ψδ(y)Aν(y))} • n= 3 : ... 3.4 GIẢN ĐỒ FEYNMAN Xét ma trận tán xạ: S =P∞ n=0S(n), trong đó: S =R d4x1...d4xnR(n)(x1, x2, ..., xn)
R(n)(x1, x2, ..., xn) là tổng của nhiều số hạng mà mỗi số hạng đều biễu diễn qua tích của các cặp đôi các toán tử trường và N-tích toán tử trường không bị cặp đôi.
Ta có thể biễu diễn số hạng trên dưới dạng giản đồ Feynman nếu sử dụng bảng đối ứng sau:
Các thừa số trong ma trận S Các thành phần trong giản đồ Hàm truyền photon Đường photon trong
Aµ(x)Aν(y) x y
Hàm truyền electron Đường electron trong ψα(x) ¯ψβ(y) x y Toán tử trường photon Đường photon ngoài
Aµ(x) x
Toán tử trường electron Đường electron ngoài
ψα(x) x
Toán tử trường electron Đường electron ngoài
ψα(x) x
eγµ Đỉnh
eψα(x)γµψα(x)Aµ(x)
x
LÍ THUYẾT TRƯỜNG GAUGE
Hiện nay lí thuyết trường Gauge (trường chuẩn) đã trở thành một trong những cơ sở chính trong vật lý hạt cơ bản. Tất cả các tương tác thông dụng (mạnh, yếu, và điện từ) đã biết được mô tả bởi lí thuyết này.
4.1 TRƯỜNG GAUGE a. Biến đổi Gauge U(1)
Xét biến đổi pha (biến đổi điện tích) của nhóm U(1)
φ(x)→φ0(x) = e−iωqφ(x), (4.1) trong đó ω là một tham số.
• Với ω =const: Mọi Lagrangian bất biến dưới tác dụng của phép biến đổi này.
• Với ω =ω(x): Lagrangian không bất biến.
Nhận xét: Để Lagrangian bất biến ta thay đạo hàm thông thường bằng đạo hàm hiệp biến Dµ:
Dµ=∂µ−iqAµ(x) (4.2)
trong đó Aµ là trường gauge. Để Lagrangian bất biến thì đạo hàm hiệp biến phải biến đổi tương tự như toán tử trường, nghĩa là:
Dµφ →(Dµφ)0 =e−iφω(x)qDµφ (4.3) Từ đây, ta có quy luật biến đổi của trường chuẩn:
A0µ(x) =Aµ(x)−∂µω(x) (4.4) - Ví dụ 1:Xét trường vô hướng tích điện φ(x)
L0(φ) = ∂µφ+∂µφ−m2φ+φ (4.5) Để thu được Lagrangian bất biến, ta thay ∂µ →Dµ được:
L =L0(φ) +Lint(φ, Aµ) (4.6) với Lint(φ, Aµ) =iqAµ(φ+∂µφ−∂µφ+φ) +q2AµAµϕ+φ là Lagrangian tương tác trường φ và Aµ.
Để trọn vẹn, ta mô tả Lagrangian của hệ gồm φ và Aµ như sau:
L(φ, Aµ) =L0(φ)− 1 4F µνFµν+Lint(φ, Aµ). (4.7) Nhận xét, −1 4F µνFµν là bất biến nhưng 1 2m
2AµAµ không bất biến. Do đó, các trường gauge là trường không có khối lượng (photon là hạt không có khối lượng).
- Ví dụ 2:Trường spinor mang điện q, Lagrangian của hệ L(ψ, Aµ) có dạng
L(ψ, Aµ) =L0(ψ)− 1 4F
µνFµν +qψγ¯ µψAµ (4.8)
b. Biến đổi Gauge phi Albel
Giả sử ta cór hạt, mỗi hạt ứng với một trườngϕ1(x), ϕ2(x), ...ϕr(x), các trường này biến đổi theo quy luật:
ϕi(x)→ϕ0i(x) = e−igPpa=1ωaMa j
iϕj(x) (4.9)
trong đó Ma là ma trậnrxr tuân theo hệ thức giao hoán:
[Ma, Mb] =i.fabcMc (4.10) Tương tự, để Lagrangian là bất biến với phép biến đổi trên, ta thay đạo hàm thông thường ∂µ bằng đạo hàm hiệp biến lập theo cách sau:
Dµψi(x) = ∂µψi(x)−ig p
X
a=1
Aµa(Ma)jiψj (4.11)
trong đó, ta đã đưa vào các trường gauge Aµa(a = 1,2, ..., p) đòi hỏi biến đổi theo quy luật sau:
A0µa(x) =Aµa(x)−∂µωa(x) (4.12) Đạo hàm hiệp biến cũng đòi hỏi phải biến đổi tương tự như toán tử trường, nghĩa là:
Dµψi(x) = e−igPpa=1ωaMa j i Dµψj (4.13)
4.2 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT - CƠ CHẾ HIGGS
Các trường gauge không có khối lượng. Tương tác yếu là tương tác tầm gần nên hạt truyền tương tác phải có khối lượng. Do vậy, ta phải tìm cách cho trường gauge Aµ có khối lượng. Sự phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs sẽ giúp ta việc này.
a. Sự phá vỡ đối xứng tự phát
Sự phá vỡ đối xứng tự phát là hiện tượng Lagrangian còn bất biến với biến đổi gauge nhưng chân không (trạng thái cơ bản) là không bất biến với phép biến đổi gauge.
Người ta chứng minh rằng, trung bình chân không của toán tử trường là giá trị của trường cổ điển mà tại đó thế năng đạt cực tiểu. Trường vật lý là trường có trung bình chân không bằng 0. Chẳng hạn xét trường vô hướng φ mang điện, dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích:
φ(x)→φ0(x) = e−iωqφ(x), (4.14) ta thu được:
h0|φ(x)|0i= 0 (4.15)
Bây giờ, ta xét trường vô hướng φ(x) và trường gauge Aµ(x) được mô tả bởi Lagrangian toàn phần như sau:
L(φ, Aµ) = Dµφ+Dµφ+ρ2φ+φ−λ(φ+φ)2− 1 4F
µνFµν. (4.16)
Lagrangian trên bất biến với phép biến đổi gauge:
φ(x)→φ0(x) =e−igω(x)φ(x), (4.17) nhưng thế năng V(φ) = ρ2φ+φ−λ(φ+φ)2 đạt cực tiểu tại:
φ(x) =v = −iu √ 2, (4.18) với u= r ρ2 λ.
Do đó, toán tử trường φ có trung bình chân không là:
h0|φ(x)|i=v 6= 0 (4.19)
Điều này có nghĩa vi tử Tq tác dụng lên chân không khác 0: Tq|0i 6= 0. Trường φ không phải là trường vật lý. Ta lập trường F(x) = φ(x)−v sao cho h0|φ(x)|i = 0. Khi đó, trường F(x)là trường vật lý.
Vì F(x) là trường vô hướng tích điện (phức) nên ta có thể đặt: F(x) = √1
2 ϕ(x)−iσ(x)⇒φ(x) = √1 2
với ϕ(x)và σ(x)là các trường vô hướng trung tính. Thay φ(x) vào phương trình (4.16), ta thu được:
L(φ, Aµ) = 1 2∂ µφ+∂µφ+1 2∂µσ +∂µσ−σ2ρ2+g 2 2u 2AµAµ+....− 1 4F µνFµν. (4.21)
Như vậy, khi ta dịch chuyển toán tử trường thì xuất hiện trường gauge Aµ có khối lượng là mA =gu, và tồn tại trường vô hướng trung tính ϕ không có khối lượng gọi tên là trường Goldstone.
Tổng quát hoá, sự phá vỡ đối xứng tự phát trong trường hợp nhóm đối xứng có n vi tử T1|0i 6= 0,T2|0i 6= 0, ...,Tn|0i 6= 0 thì dẫn đến sự tồn tạintrường vô hướng trung tính không có khối lượng.
b. Cơ chế Higgs
Phá vỡ đối xứng tự phát đã xây dựng một trường gauge có khối lượng nhưng cũng đồng thời tạo ra một vướng mắc lớn là sự tồn tại trường Goldstone không khối lượng. Ta phải dùng cơ chế Higgs để giải quyết vướng mắc này.
Ta biễu diễn toán tử trường ban đầu dưới dạng khác: φ(x) = eiϕ(x)/u −√i 2(σ+u) (4.22)
Thực hiện phép biến đổi:
φ(x)→φ0(x) = e−iϕ(x)/uφ(x) (4.23) giống phép biến đổi gauge với ω =ϕ/(gu) ta thu được:
φ(x) =−√i
2[σ+u] (4.24)
Để Lagrangian bất biến, trường gauge biến đổi theo quy luật sau A0µ=Aµ− 1 gu∂µϕ (4.25) Khi đó, L(φ, Aµ) = 1 2∂µσ∂ µσ−ρ2σ2− 1 4(∂µA 0 ν −∂νA0µ)2+ 1 2g 2u2A0µAµ +g 2 2σ[2u+σ]A 0 µA0µ− λ 4[4u+σ]σ 3 . (4.26)
Lagrangian cho thấy rằng, trường A0µcó khối lượnggu, trường Higgsσcó khối lượng√ 2ρ, trường ϕ đã biến mất. Người ta nói, các trường chuẩn Aµ đã "ăn" các Goldstone boson và trở nên có khối lượng.
MÔ HÌNH WEINBERG-SALAM
5.1 TƯƠNG TÁC YẾU
Lí thuyết tương tác vạn năng V-A Feymann, Gell Mann, Marshak và Sudarshan đã đưa Hamiltonian với hằng số tương tác duy nhất cho tất cả các tương tác yếu:
H = G√F 2J
µJµ+, (5.1)
trong đó, GF được gọi là hằng số Fermi, Jµ được gọi là các dòng tương tác yếu có cấu trúc như sau: Jµ=Jµhad +jµlep (5.2) với, jµlep = X `=e,µ,τ ¯ ψ(ν`) γµ(1−γ5)ψ(`)(x) (5.3) Các dòng jlep µ , Jhad
µ là các dòng tương tác yếu của các lepton và các hadron. Dòng Jhad µ không có công thức tường minh nhưng có thể đoán nhận từ ý tưởng vật lí:
Jµhad =JVµ −JAµ (5.4)
Các dòng vectơ JVµ bảo toàn: ∂µJVµ = 0. Các dòng trục không bảo toàn, chúng có dạng: JAµ(∆S=0)=cφπ+ và JAµ(∆S=1)=cφK+ (5.5)
5.2 TƯƠNG TÁC ĐIỆN TỪ
Điện động lực học lượng tử suy ra từ nguyên lý bất biến gauge mà trong đó nhóm biến đổi là nhóm U(1) một thông số ứng với phép biến đổi điện tích. Trường gauge là trường photon
Lagrangian mô tả tương tác điện từ giữa hadron và photon:
Lint =eJµ(em)Aµ(x) (5.6) Trường hợp electron Jµ(em) = ¯ψγµψ
L(em)
int =eψγ¯ µψAµ(x) (5.7)
• Xét quá trình tán xạ: e−(k) +p(p)→e−(k0) +p(p0) Phần tử ma trận tán xạ: Tf i=−e 2 q2U¯(k0 )γµU(k)hp(p0)|Jµ(em)(0)|p(p0)i, (5.8) với q=p0−p=k−k0 là xung lượng truyền, U(k) là spinor Dirac của electron.
- Trường hợp không có tương tác mạnh
hp(p0)|Jµ(em)(0)|p(p0)i= ¯U(p0)γµU(p) (5.9) - Trường hợp có tương tác mạnh hp(p0)|Jµ(em)(0)|p(p0)i= ¯U(p0) γµF1p(t) +iσµν(p0−p)νF2p(t) M(p) (5.10) trong đót=q2,σµν = i 2[γµ, γν] vàF p
1(t),F2p(t)là các thừa số dạng điện và dạng từ được xác định từ thực nghiệm. Chẳng hạn: F1p(0) = 1, F2p(0) = µp
2M với µp = 1,79 đơn vị Magneton Bohr, M là khối lượng nuclon.
• Xét quá trình tán xạ:
e−+n→e−+n Cách làm tương tự: thay p→n nhưng:
F1n(0) = 0, F2n(0) = µn 2M • Xét quá trình tán xạ: e−(k) +π+(p)→e−(k0) +π+(p0) Phần tử ma trận tán xạ: Tf i =−e 2 q2U¯(k0 )γµU(k)hπ+(p0)|Jµ(em)(0)|π+(p0)i, (5.11) - Trường hợp không có tương tác mạnh
hπ+(p0)|Jµ(em)(0)|π+(p)i= (p0+p)µ (5.12) - Trường hợp có tương tác mạnh
hπ+(p0)|Jµ(em)(0)|π+(p)i= (p+p0)µFπ(t) (5.13) với Fπ(t) được gọi là thừa số dạng điện từ của π và cũng được xác định từ thực nghiệm, ví dụ: Fπ(0) = 1.
5.3 MÔ HÌNH THỐNG NHẤT WEINBERG SALLAMa. Mô hình chuẩn của Weinberg-Sallam a. Mô hình chuẩn của Weinberg-Sallam
Trong tương tác yếu có 2 dòng mang điện:
Jµ(x) = Jµhadr(x) +jµlept(x) cần 2 vi tử (5.14) Tương tác điện từ có dòng:
Jµ(em)(x) = ¯ψ(`)(x)γµψ(`)(x) cần 1 vi tử (5.15) Như vậy, để thống nhất tương tác điện từ, ta cần có 1 nhóm có 3 vi tử nên phải mở rộng ra SU(2)L(1)Y. Áp dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát, ta thu được Lagrangian tương tác toàn phần yếu + điện từ có dạng:
Lint = i g 2√ 2j + µWµ+h +i g 2cosθwj 0 µZµ0+ieJµemAµ (5.16) với, Zµ0 =cosθwbµ3−sinθwaµ (5.17) A0µ =cosθwbµ3−cosθwaµ (5.18) Wµ± = 1 2(bµ1±bµ2) (5.19)
trong đó: θw là góc Weinberg được định nghĩa: cosθw = p g
g2+ 4g02 (5.20)
W± và Z0 là các hạt truyền tương tác yếu có khối lượng: mZ = mW
cosθw = gu
2cosθw (5.21)
e và G liên hệ với nhau qua:
e = 2gg 0 p g2+ 4g02 G= √ 2g2 8m2 W (5.22)
b. Phân loại lepton và quark trong mô hình W-S
Các hạt quark và lepton được chia thành 3 thế hệ như sau: - Thế hệ 1: (e, νe); (u, d)
- Thế hệ 2: (µ, νµ); (c, s)
- Thế hệ 3: (τ, ντ); (t, b)
Độ xoắn: bất kì trường χ thoả điều kiện: γ5χ=−χ: có độ xoắn trái.
γ5χ= +χ: có độ xoắn phải.
• Phân loại lepton:
Để có dòng mang điện lepton dạng V-A, người ta sắp các hạt xoắn trái vào lưỡng tuyến của nhóm SU(2)L còn các hạt xoắn phải vào đơn tuyến như sau:
Lưỡng tuyến trái:
(νe, e−)L; (νµ, µ−)L; (ντ, τ−)L
Đơn tuyến phải:
e−R, µ−R, τR−
Cũng như nhóm SU(2) đồng vị, công thức của toán tử điện tích: Q=I3+ Yw
2 (5.23)
Suy ra siêu tích yếu cho lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phải là: YwL =−1, YwR =−2
• Phân loại quark: Lưỡng tuyến trái:
(u, dc)L; (c, sc)L
trong đó: dc, sc là pha trộn của quark d và quarks: dc=d.cosθc+s.sinθc, sc =−d.sinθc+s.cosθc, với θc ≈0,26 rad: góc Cabbilo.
Suy ra siêu tích yếu cho lưỡng tuyến trái và đơn tuyến phải là: (u, dc)LYwL = 1 3 (c, sc)LYwL = 3 uRYwL = 4 3 (dc)RYwL =−2 3 cYwL = 4 3 (sc)RYwL =−2 3
5.4 PHƯƠNG HƯỚNG THỐNG NHẤT TƯƠNG TÁC
a. Thống nhất lớn
1964, tương tác điện từ-yếu thống nhất dựa trên cơ sở nhóm gauge SU(2)L⊗U(1)Y. 1974, John Iliopoulos đề xuất mô hình chuẩn (SM) thống nhất tương tác điện từ + yếu + mạnh dựa trên nhóm gaugeSU(3)C⊗SU(2)L⊗U(1)Y.
b. Lí thuyết dây
Hạt cơ bản có kích thước như những sợi dây. Dây chuyển động vạch ra 1 mặt trong không gian gọi là lá thế. Lí thuyết dây là lí thuyết động học trên lá thế.
Toạ độ mở rộng: χµ(τ, σ) với τ là thời gian riêng của sợi dây, σ là độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây.
Để xác định lí thuyết dây hoàn chỉnh thì số chiều không gian là 10 trong đó có 6 chiều ngoại phụ co lại thành những vòng kín.
Có 5 loại lí thuyết dây thích hợp để bó gọn chiều ngoại phụ.
c. Lí thuyết M
Lí thuyết M là sự mở rộng của lí thuyết dây do tính đối ngẫu dây: kết hợp 2 tính chất tương phản nhau.
5 loại lí thuyết dây được xem là 5 trường hợp giới hạn của lí thuyết M. Lí thuyết M bao gồm cả hấp dẫn có số chiều D=11.
1. Tính giao hoán tử:
[a(k),(a+(`))n], [(a(k))n, a+(`)]
2. Tính xung lượng và điện tích của trường vô hướng tích điện của các trạng thái sau đây:
|k1k2i, |k`ei, |`e1`e2i
3. Tính giá trị của các toán tử: N =
Z
dka+(k)a(k), Ne =
Z
dkb+(k)b(k)
trong các trạng thái của trường vô hướng tích điện:
|p1p2i, |p`ei, |`e1`e2i
4. Tính giá trị của toán tử F trong trường vô hướng tích điện F =k
xa+(k)a(k) +yb+(k)b(k)
trong các trạng thái của trường vô hướng tích điện:
|p1...pne`1...`emi
5. Chứng minh rằng biểu thức khai triển Fourier của trường vô hướng thoả mãn phương trình:
(+m2)φ = 0
6. Cho trường spinor, xác định giá trị của các toán tử: N = X s=1,2 Z dka+(k, s)a(k, s), Ne = X s=1,2 Z dkb+(k, s)b(k, s) trong các trạng thái: |p1r1p2r2i, |pr`tei, |`1t1g `2t2gi