3 TIỀN MÃ HÓA TUYẾN TÍNH VÀ STBC CHO HỆ THỐNG MIMO
3.3 Cấu trúc STBC
3.1.2 Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính
Ta xét cấu trúc tiền mã hóa tuyến tính cho STBC. Một bộ tiền mã hóa tuyến tính có chức năng giống như một bộ tổ hợp tạo dạng và bộ tạo chùm chia nhiều chế độ cùng với sự cấp phát công suất cho từng dòng. Khai triển một ma trận tiền mã hóa:
F =UFDVF (3.1)
Hướng của các chùm trực giao là UF, trong đó mỗi cột của ma trận này biểu diễn một hướng của chùm. Công suất của mỗi các chùm trực giao làD2. Ma trận VF trộn các ký hiệu đầu vào bộ tiền mã hóa để cho vào mỗi chùm và do đó nó được đề cập đến như là ma trận tạo dạng đầu vào. Cấu trúc này được minh họa như hình 3.4.
resulting in a one-symbol-long input block, while ST coding usual- ly spreads symbols over both the spatial and the temporal dimen- sions. While these two structures have different implications on rate adaptation, this issue is not discussed in this article. Therefore, for precoding analysis and design, we will treat spatial multiplexing as a special case of ST coding with the block length of
one. Assuming a Gaussian-distributed codeword C of size N×T
with a zero mean, we define the codeword covariance matrix as
Q= TP1 E
CC∗
, (11)
where P is the transmit power (here we assume that the code- word has been scaled by the transmit power, so this definition provides the normalized covariance), and the expectation is taken over the codeword distribution. When C is spatial multi-
plexing, Q=I.
Of particular interest is ST block code (STBC), usually designed to capture the spatial diversity in the channel, assum- ing no CSIT. Diversity determines the slope of the error proba- bility versus the SNR and is related to the number of spatial links that are not fully correlated [42]. High diversity is useful in a fading link since it reduces the fade margin, which is needed to meet required link reliability. A STBC can be charac- terized by its diversity order; a full-diversity code achieves the
maximum diversity MN in a channel with Ntransmit and M
receive antennas. There is, however, a fundamental trade-off between the diversity and the multiplexing orders in ST coding [43]. The multiplexing order relates to rate-adaptation; it is the scale at which the transmission rate asymptotically increases with the SNR. A fixed-rate system therefore has a zero multi- plexing order. (Recently there has been new development of the diversity-multiplexing trade-off at finite [low] SNRs with a mod- ified definition of multiplexing order [46].) Without CSIT, STBC design achieving the optimal diversity-multiplexing trade-off is an active research area (see [44], [45] for some examples). With CSIT, on the other hand, precoding focuses on extracting a coding gain (an SNR advantage) from the CSIT; hence it is independent of, and complementary to, the diversity-multi- plexing trade-offs for ST codes.
LINEAR PRECODING STRUCTURE
The precoder is a separate transmit processing block from chan- nel and ST coding. It depends on the CSIT, but a linear precoder has a general structure. A linear precoder functions as a combi- nation of an input shaper and a multimode beamformer with per-beam power allocation. Consider the singular value decom- position (SVD) of the precoder matrix
F=UFDVF. (12)
The orthogonal beam directions are the left singular vectors UF,
of which each column represents a beam direction (pattern).
Note that UFis also the eigenvectors of the product FF∗, thus
the structure is often referred to as eigen-beamforming. The
beam power loadings are the squared singular values D2. The
right singular vectors VFmix the precoder input symbols to feed
into each beam and hence is referred to as the input shaping matrix. This structure is illustrated in Figure 8. To conserve the total transmit power, the precoder must satisfy
tr(FF∗)=1. (13)
In other words, the sum of power over all beams must be a con- stant. The individual beam power, however, can differ according to the SNR, the CSIT, and the design criterion.
Essentially, a precoder has two effects: decoupling the input signal into orthogonal spatial modes, in the form of eigen- beams, and allocating power over these beams, based on the CSIT. If the precoded, orthogonal spatial-beams match the chan-
nel eigen-directions (the eigenvectors of H∗H), there will be no
interference among signals sent on different modes, thus creat- ing parallel channels and allowing transmission of independent signal streams. This effect, however, requires the full channel knowledge at the transmitter. With partial CSIT, the precoder tries to approximately match its eigen-beams to the channel eigen-directions and therefore reduces the interference among signals sent on these beams. This is the decoupling effect. Moreover, the precoder allocates power on the beams. For orthogonal eigen-beams, if all the beams have equal power, the total radiation pattern of the transmit antenna array is isotropic. Figure 9(a) shows an example of this pattern using a uniform linear antenna array. If the beam powers are different, however, the overall transmit radiation pattern will have a specific, non- circular shape, as shown in Figure 9(b). By allocating power, the precoder effectively creates a radiation shape to match to the channel based on the CSIT, so that higher power is sent in the directions where the channel is strong and reduced or no power in the weak. More transmit antennas will increase the ability to finely shape the radiation pattern and therefore will likely to deliver more precoding gain.
[FIG8] A linear precoder structure as a multimode beamformer.
VF d1 d2 u1 u2 X C UF Σ Σ d1 d2
IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [93] SEPTEMBER 2007
Authorized licensed use limited to: QUEENSLAND UNIVERSITY OF TECHNOLOGY. Downloaded on July 31,2010 at 16:34:04 UTC from IEEE Xplore. Restrictions apply.
Hình 3.4: Cấu trúc bộ tiền mã hóa tuyến tính [5, 6]Để bảo toàn tổng năng lượng phát, bộ tiền mã hóa phải thỏa mãn: Để bảo toàn tổng năng lượng phát, bộ tiền mã hóa phải thỏa mãn:
tr(F F∗) = 1 (3.2)
Nói cách khác, tổng công suất trên tất cả các chùm là một hằng số. Tuy nhiên, công suất của các chùm riêng lẻ là khác nhau tùy thuộc vàoSNR, SCIT và các tiêu chí thiết kế.
3.1.3 Cấu trúc thu
Xét một hệ thống với một bộ lập mã tạo nên một từ mã Cvà một bộ tiền mã hóa F tại phía phát như được mô tả trong hình 3.1. Ở phía thu, tín hiệu nhận được có dạng:
Y=HFC+N (3.3)
trong đó N là một vector của các nhiễu Gauss trắng cộng tính. Qua công thức trên, ta thấy rằng, trong hệ thống có tiền mã hóa thì HF được phía thu đối xử như là ma trận kênh hiệu dụng.
Phía thu phát hiện và giải mã tín hiệu nhận được để thu được một ước lượng của từ mã đã phátC. Phía thu có thể sử dụng một trong số các phương pháp phát hiện, dựa vào mức độ thực hiện và độ phức tạp thuật toán yêu cầu. Thuật toán giải mã trên cơ sở
MLsẽ thu được từ mã thỏa mãn:
ˆ
C= arg min
C kY−HFCk2 (3.4)
3.2 Thiết kế tiền mã hóa tối ưu
Một bộ tiền mã hóa tuyến tính bao gồm một ma trận tạo dạng đầu vào, một ma trận tạo các chùm và cấp phát năng lượng trên các chùm này. Ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu chỉ phụ thuộc vào mã đầu vào bộ tiền mã hóa. Ma trận tạo các chùm phụ thuộc vàoCSIT và bộ cấp phát năng lượng phụ thuộc vào cả từ mã và CSIT.
Ta quan tâm đến ma trận tạo dạng đầu vào vì liên quan trực tiếp đến việc thiết kế STBC. Bộ mã hóa tạo dạng ma trận hiệp phương sai của từ mã đưa đến bộ tiền mã hóa. Bộ tiền mã hóa tương ứng chọn ma trận tạo dạng đầu vào để phù hợp với hiệp phương sai này. Gọi ma trận hiệp phương sai của từ mã là Q và giả sử có khai triển trị riêng Q=UQΣQUQ, ma trận tạo dạng đầu vào tối ưu sẽ là:
VF =UQ
Ma trận tạo dạng đầu vào này là kết quả trực tiếp từ ma trận Q, trong nhiều công trình thiết kế tiền mã hóa cho STBC, giả thiết đưa ra là Q được xác định từ trước và không là tham số thiết kế. Ma trận hiệp phương saiQđặc trưng cho từ mã của hệ thống. Bằng việc phù hợp hiệp phương sai từ mã đầu vào, bộ tiền mã hóa làm phù hợp với tín hiệu đầu vào và lựa chọn tối ưu năng lượng đầu vào.
3.3 Một số vấn đề cần bàn luận
Trong hệ thống MIMO, khối phát trong cấu trúc khai thác CSIT đầy đủ bao gồm mã hóa kênh, mã hóa STBC và tiền mã hóa. Các kỹ thuật này có chung một mục đích là giảm tỷ lệ lỗi, tăng dung lượng và hiệu suất đường truyền.
Với cấu trúc STBC hoàn hảo, trong một hệ thống có tiền mã hóa tuyến tính (lúc đó ta phân tích và xem xét HF như là kênh hiệu dụng) thì phía thu vẫn có thể sử dụng giải mã hình cầu, đây mà một lợi thế của mã lưới. Hiện nay, các nghiên cứu tiền mã hóa tuyến tính choSTBC giả thiết đã có mã STBC, và xem đây không phải là tham số thiết kế. Tôi nghĩ rằng, việc thiết kế đồng thời mã STBC và tiền mã hóa tuyến tính có thể thực hiện được vì hai kỹ thuật này có một số tiêu chí giống nhau (ví dụ xác suất lỗi cặp). Nếu thiết kế đồng thờiSTBC và tiền mã hóa tuyến tính thì có thể làm giảm những ràng buộc khá khắt khe của mãSTBC hoàn hảo, do đó số lượng các bộ mã thỏa mãn yêu cầu thiết kế hệ thống sẽ nhiều hơn.
Khi có thêm mã hóa kênh, số bits thực mang thông tin trong một ký hiệu là ít so với kích thước ký hiệu nhưng lại yêu cầu phía thu xử lý nhiều hơn. Do đó, nếu sử dụng cấu trúc lưới, ta có thể áp dụng giải mã hình cầu nhằm giảm khối lượng tính toán ở phía thu.
Khi sử dụng mã lưới, thông tin phát có cấu trúc lưới, một câu hỏi đặt ra là nếu trong môi trường truyền là fading sâu, phía thu chỉ thu được ma trận với số chiều nhỏ hơn ma trận phía phát thì ta có thể dựa vào cấu trúc lưới để khôi phục lại những thông tin đã mất hay không? Ở đây, kỹ thuật lấy mẫu nén (compressed sensing) có thể được áp dụng cho việc khôi phục thông tin đã mất.
KẾT LUẬN
Với việc thực hiện luận văn này, tôi đã có được những kiến thức khá chi tiết về mã lưới cho kênh fading Rayleigh đồng thời có một cách nhìn khá toàn diện hệ thống thông tin không dây MIMO, hoàn thiện mục tiêu bước đầu tìm hiểu về hệ thống thông tin không dây.
Để nắm bắt vấn đề một cách chi tiết, một việc quan trọng là tìm hiểu công cụ toán học của việc xây dựng mã lưới và mã STBC cho kênh fading Rayleigh đơn antenna và MIMO fading Rayleigh.
Luận văn tập trung tìm hiểu mã lưới cho kênh fading Rayleigh đơn antenna, đặc biệt là mã STBC hoàn hảo cho kênh fading Rayleigh MIMO; luận văn cũng đã bước đầu mô phỏng được hệ thống trong trường hợp đơn giản. Kết hợp với những tìm hiểu trong thời gian tới về tiền mã hóa tuyến tính, có thể dẫn ra một ý tưởng nhỏ cho việc kết hợp thiết kế STBC và tiền mã hóa tuyến tính. Đây có thể là hướng nghiên cứu tiếp theo của bản thân trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] C. R. J. Boutros, E. Viterbo and J.-C. Belfiore, “Good lattice constellations for both rayleigh fading and gaussian channels,” IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 502–518, 1996.
[2] X. Giraud and J. C. Belfiore, “Constallation mached to the rayleigh fading channel,”
IEEE Transactions on Information Theory, vol. 42, pp. 106–114, 1996.
[3] J. Boutros and E. Viterbo, “Signal space diversity: A power and bandwidth efficient diversity technique for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on Informa- tion Theory, 1998.
[4] F. O. E. Bayer-Fluckiger and E. Viterbo, “New algebraic constructions of rotated zn-lattice constellations for the rayleigh fading channel,” IEEE Transactions on In- formation Theory, 2004.
[5] A. P. Mai Vu, “Mimo wireless linear precoding,” IEEE Signal Processing Magazine, pp. 87–105, 2007.
[6] M. Vu, “Exploiting transmit channel side information in mimo wireless systems,” Ph.D. dissertation, Stanford University, 2006.
[7] F. Oggier and E. Viterbo, “Algebraic number theory and code design for rayleigh fad- ing channels,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, vol. 1, 2004.
[8] F. Oggier, “Algebraic methods for channel coding,” Ph.D. dissertation, Ecole Poly- technique Federare De Lausanne, 2005.
[9] M. Pohst, Computational Algebraic Number Theory. Verlag, 1993.
[10] E. Viterbo and E. Biglieri, “A universal lattice decoding algorithm for lattice codes,” pp. 611–614, 1993.
[11] F. O. J. C. Belfiore and E. Viterbo, “Cyclic division algebras: a tool for space-time coding,” Foundations and Trends in Communications and Information Theory, 2007.
[12] N. S. Vahid Tarokh and A. R. Calderbank, “Space-time codes for high data rate wireless communication: Performance criterion and code construction,” IEEE Trans- actions on Information Theory, vol. 44, pp. 744–765, 1998.
[13] J.-C. Belfiore and G. Rekaya, “Quaternionic lattices for space-time coding,”ITW2003, 2003.
[14] G. R. Jean-Claude Belfiore and E. Viterbo, “The golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants,”IEEE Transactions on information theory, vol. 51, pp. 1432–1436, 2005.
[15] J.-C. B. Yi Hong, Emanuele Viterbo, “Golden space-time trellis coded modulation,”
IEEE Transactions on Information Theory, 2007.
[16] J. H. Conway and N. J. A. Sloane,Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer- Verlag, New York, 1988.
[17] H. Cohn,Advanced Number Theory. Dover Publications, New York, 1980.
Phụ lục A.
CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ LƯỚI
Phần phụ lục này trình bày cơ sở toán học của mã lưới: Những khái niệm cơ bản về lý thuyết lưới [7, 16] và lý thuyết số đại số (Algebraic number theory) [7, 17, 18] là cơ sở của mã lưới cho hệ thống đơn antenna; đại số vòng chia được (Cyclic Division Algebras)[11] là công cụ xây dựng mã STBC cho hệ thống MIMO.
Một số định nghĩa toán học cơ bản
Định nghĩa 1.Cho G là một tập hợp với một toán tử trong (ký hiệu là +).
G×G −→ G
(a, b) 7−→ a+b Hợp(G,+) được gọi là một nhóm nếu:
1. Toán tử có tính chất kết hợp: a+ (b+c) = (a+b) +c ∀a, b, c∈G 2. Tồn tại phần tử trung hòa 0mà a+ 0 = 0 +a=a ∀a ∈G
3. ∀a ∈Gthì tồn tại phần tử ngược −a mà a−a=−a+a= 0
Nhóm G được gọi là Abelian nếu a+b =b+a ∀a, b∈G (Tức là toán tử có tính chất giao hoán).
Định nghĩa 2.
Cho (G,+) là một nhóm và H là tập con không rỗng của G. Ta nói rằng H là một nhóm con củaG nếu (H,+) là một nhóm trong đó + là toán tử trong được kế tục từG.
Một điểm thú vị của cấu trúc nhóm là một điều chắc chắn rằng với hai thành phần bất kỳ nào trong nhóm thì tổng của chúng luôn thuộc nhóm đó. Và do đó ta nói rằngG là một nhóm đóng dưới toán tử nhóm+.
Định nghĩa 3. Cho v= (v1, v2, ..., vm) là một tập vector độc lập tuyến tính thuộc Rn (m≤n). Tập hợp điểm Λ = ( x= m X i=1 λivi, λi ∈Z )
được gọi là một lưới với số chiềum và {v1, v2, ..., vm} được gọi là cơ sở của lưới. Có rất nhiều cách chọn cơ sở của một lưới đã cho.
Một lưới là tập hợp các điểm rời rạc trong Rn. Điều này có thể dễ dàng thấy được vì nó là các tổ hợp tuyến tính nguyên củav1,v2, ...,vm. Mặt khác, nó là một nhóm con của (Rm,+), do đó tổng hoặc hiệu của hai vector trong một lưới vẫn thuộc lưới đó.
Định nghĩa 4.Ô chứa tất cả các điểm
θ1v1+θ2v2+...+θnvn, 0≤θi <1
được gọi là một ô cơ sở của lưới.
Cho tọa độ của các vector cơ sở như sau:
v1 = (v11, v12, . . . , v1n) v2 = (v21, v22, . . . , v2n) . . . . vm = (vm1, v22, . . . , vmn) trong đó n ≥m Định nghĩa 5. Ma trận M = v11 v12 . . . v1n v21 v22 . . . v2n ... ... ... ... vm1 vm2 . . . vmn
được gọi là ma trận sinh (generator matrix) của lưới.
Ma trận G= M MT được gọi là ma trận Gram của lưới, trong đó (.)T là biểu diễn của ma trận chuyển vị.
Một cách ngắn gọn, lưới có thể được định nghĩa qua ma trận sinh của nó như sau:
Λ ={x=λM |λ∈Zm}
Định nghĩa 6.
Định thức của lưới được định nghĩa là định thức của ma trận G
det (Λ) = det (G)
Đây là đại lượng bất biến của lưới, bởi vì nó không phụ thuộc vào việc chọn các cơ sở của lưới.
Vì ma trận G được xác định bằng G = M MT, trong đó M chứa các vector cơ sở