Thời gian làm bời : 150 phút
Bài 1. Giải phương trình :
7 .
z+ +8= 2z? + V2z -— 1. +1
Bài 2. Các số œ,aa,... được xác định bởi công thức : 3k2 + 3k + 1 ¬
Hãy tính giá trị của tổng : 1 + øi + øa +--- + qạ.
_ Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999,
Bài 4. Cho đường tròn tâm Ó bán kính R. Giả sử A và Ð là hai điểm cố định trên đường tròn với AB = Rv3.
1. Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn 4B của đường tròn. Đường tròn nội tiếp AíAĐ tiếp xúc với MA tại # và tiếp xúc với MB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng 7ZƑ' luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi Ä⁄ thay đốị
2. Tìm tập hợp tất cả các điểm ? sao cho đường thẳng A vuông góc với _
OP tại P cất đoạn thẳng 4B.
Bài 5. Cho hình tròn (C) bán kính bằng 1. Giả sử 4, 4z¿,..., Áas là 8 điểm bất kỳ nằm trong hình tròn (kể cả trên biên). Chứng minh rằng trong
các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ
hơn 1.
Đề thi năm 2000 - (Chung cho các khối chuyên) -
Thời gian làm bởi : 150 phút
Bài Ị 1. Tính _. 1 S=:>+ 12 7248 ‹+ 7” 1999.2000ˆ 2. Giải hệ phương trình z2 + SIm + .- .ị. lÍ ở ++ œ© |) - Bài 2. 1. Giải phương trình Vz—1+Vz+z?2+z+1l=l1l+v+z2
2. Tìm tất cả các giá trị của œø (ø là số thực) để phương trình
11 _
2x2 — (s+ 2)#+46?+7=0
có ít nhất một nghiệm nguyên.
Tài 3. Cho đường tròn tâm Ó nội tiếp trong hình thang ABC D (AB//C7D), tiếp xúc với cạnh Á? tại E và với cạnh CD tại F`
1. Chứng minh rằng :
BE _ DF AE CF ~ _
2. Cho biết AB = a,ŒCB = b (a < b), BE = 2AẸ Tính diện tích hình
thang ABCD.
Bài 4. Cho z, là hai số thực bất kỳ khác không. Chứng minh rằng :
4z2y2 _œ2- ự2
@+w3? +ự3? Ty + xô >3.
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào 2
Đề thi năm 2000 - (Khối chuyên Toớn vỏ chuyên Tin)
Thời gian làm bởi : 150 phút
Bài 1.
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên (z,) thoả mãn đẳng thức (z — 1) =z?+2.
2. Cho cặp số (z,) thoả mãn các điều kiện
-1 SXz+<S 1, —1<zy+z+y<l. Chứng minh rằng : |#| S 2,|w| <2. Bài 2. 1. Giải phương trình : 4 1 — ng —+\Íz——=z+\|2z—-. + HH ® 2. Cho ƒ(z) = az2 + bz + c có tính chất: ƒ(1), ƒ(4) và ƒ(9) là các số