Phép biến đổi affine bảo tồn đƣờng thẳng
Ảnh của đƣờng thẳng qua phép biến đổi affine là đƣờng thẳng.
Thật vậy, ta cĩ phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng qua hai điểm A, B là : P t 1tAtB. Q t các điểm nhận đƣợc sau phép biến đổi M.
t P t M tA tBM tAM tBM
Q . 1 1
Nếu gọi A’, B’ lần lƣợt là ảnh của A, B qua phép biến đổi M, ta sẽ cĩ A'AM,B'BM. Lúc này t 1 tA' tB'
Q . Đây chính là dạng của phƣơng trình tham số đoạn thẳng qua A’, B’.
Từ kết quả trên, để biến đổi một đoạn thẳng đi qua hai điểm A và B, ta chỉ cần áp dụng phép biến đổi cho hai điểm A, B rồi vẽ lại đoạn thẳng qua hai điểm mới.
Tính song song của các đƣờng thẳng đƣợc bảo tồn
Ảnh của hai đƣờng thẳng song song là hai đƣờng song song.
Chúng ta cĩ thể viết lại phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng dƣới dạng tia xuất phát từ A ứng với t=0 và theo phƣơng BAnhƣ sau : At. Lúc này ta biểu diễn hai đƣờng thẳng song song dƣới dạng tia :L1 t A1 tvà
t A t
L2 2 cĩ cùng phƣơng t nhƣng xuất phát từ hai điểm khác nhau. Lúc này áp dụng phép biến đổi lên hai đƣờng thẳng song song này, dễ dàng nhận ra ảnh của chúng sẽ cĩ phƣơngMnên chúng song song.
Một hệ quả quan trọng của tính chất này đĩ là ảnh của các hình bình hành sau phép biến đổi là các hình bình hành.
Tính tỉ lệ về khoảng cách đƣợc bảo tồn
Giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỉ số t. Nếu A’, B’, C’ lần lƣợt là ảnh A, B, C qua phép biến đổi thì C’ cũng sẽ chia A’B’ theo tỉ số t.
Trong trƣờng hợp đặc biệt, nếu C là trung điểm của AB thì C’ cũng là trung điểm của A’B’, từ đĩ ta cĩ thể suy ra một số tính chất sau :
Trong hình vuơng, các đƣờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đƣờng nên các đƣờng chéo của bất cứ hình bình hành nào cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đƣờng.
Trong tam giác đều, giao điểm của ba đƣờng trung tuyến chia mỗi đƣờng theo tỉ số 1:2. Mặt khác, một tam giác bất kì là ảnh của tam giác đều qua phép biến đổi affine, nên giao điểm của các đƣờng trung tuyến của nĩ cũng sẽ chia chúng theo tỉ lệ 1:2.