3 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian
3.2 Tính Markov của nghiệm
Trong mục này, giả thiết rằng martingale Mt nhận giá trị trongR, liên tục, có gia số độc lập. Các giả thiết trong Mục 3.1 vẫn được thỏa mãn.
Định nghĩa 3.2.1. Giả sử Y = (Yt)t∈Ta là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, (Ft)−phù hợp. Khi đó, quá trình Y được gọi là (Ft)−Markov nếu với mọis, t ∈ Ta, s 6 t thì
E(Yt|Fs) = E(Yt|Ys).
Mệnh đề 3.2.2. Giả sửY = (Yt)t∈Ta là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực,
(Ft)−phù hợp. Khi đó, quá trình Y là (Ft)−Markov nếu và chỉ nếu, với mọi hàm Borel, đo được, bị chặn thì
E(f(Yt)|Fs) = E(f(Yt)|Ys).
Bổ đề 3.2.3. Giả sử(Mt)t∈T là quá trình có gia số độc lập,V(x, ω)là một hàm vô hướng đối vớix, bị chặn, đo được, độc lập vớiFs khi Ms đã biết. Lấy ζ là một biến ngẫu nhiênFs−đo được. Khi đó
E(V(ζ, ω)|Fs) = V(ζ), (3.14) trong đó V(x) =E(V(x, ω)).
Chứng minh. Trước hết, giả sử rằngV(x, ω) có dạng V(x, ω) =
k
X
i=1
ui(x)vi(ω), (3.15) trong đó, ui(x) là hàm tất định đối với biến x, bị chặn và vi(ω) là biến ngẫu nhiên bị chặn, độc lập vớiFs. Ta có V(x) = k X i=1 ui(x)Evi(ω). Mặt khác, E(V(ζ, ω)|Fs) = E k X i=1 ui(ζ)vi(ω)|Fs= k X i=1 ui(ζ)Evi(ω) = V(ζ). Điều này có nghĩa (3.14) đúng với V(x, ω) có dạng (3.15). Vì với mỗi hàm ngẫu nhiênV(x, ω) bị chặn, đo được có thể được xấp xỉ bởi các hàm có dạng (3.15), do đó kết quả tổng quát của bổ đề có được thông qua lấy giới hạn. Định lý 3.2.4. Giả sử X(t) = Xa,xa(t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.1) với điều kiện ban đầuX(a) = xa. Khi đó,(X(t))là quá trình
Chứng minh. Từ tính duy nhất nghiệm của phương trình (3.1), suy ra Xa,xa(t) =Xs,Xa,xa(s)(t) ∀ s ∈ (a, t],
với xác suất 1. Rõ ràng nghiệmXs,X(s)(t), t > scủa bài toán Cauchy (3.1) chỉ phụ thuộc vào gia sốM(r)−M(s) với r > s và X(s). Do đó, nó độc lập với
Fs . Với bất kỳ hàm Borelg đo đươc, bị chặn, ta có
Eg(Xa,xa(t))|Fs = Eg(Xs,Xa,xa(s)(t))|Fs = V(Xa,xa(s)), trong đó V(η) = Eg(Xs,η(t))|Fs = Eg(Xs,η(t)). Do đó, Eg(Xa,xa(t))|Fs = Eg(Xa,xa(t))|Xa,xa(s). Điều này có nghĩa là (X(t)) là quá trình (Ft)−Markov.
kết luận và kiến nghị
I. Kết luận chung
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1) Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về giải tích tất định trên thang thời gian. 2) Trên cơ sở các kết quả trong tài liệu tham khảo [3] và [4] chúng tôi trình bày chi tiết và có hệ thống các vấn đề sau:
• Phát biểu và chứng minh được định lý khai triển Doob- Meyer đối với sub- martingale trên thang thời gian.
• Xây dựng tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian theo martingale bình phương khả tích, martinagle địa phương bình phương khả tích và mở rộng tích phân theo semimartingale đồng thời chỉ ra các tính chất quen thuộc của chúng.
• Phát biểu và chứng minh công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thang thời gian, chỉ ra các hệ quả đối với công thức Itô, và ứng dụng.
• Thiết lập phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, định nghĩa nghiệm và chỉ ra điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên và tính Markov của nghiệm.
II. Kiến nghị
Thời gian tới chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau: 1) Nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian (Toán tử cực vi đối với quá trình Markov nghiệm, Công thức ước lượng moment...).
2) Nghiên cứu các điều kiện Lipchitz địa phương cho sự tồn tại nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Bohner and A. Peterson (2001), Dynamic equations on time scale, Birkhauser Boston, Massachusetts.
[2] A. Cabada and D. R. Vivero (2006), Expression of the Lebesgue∆-integral on time scale as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of
∆-antiderivatives, Mathematical and Computer Modeling. 43, 194 - 207. [3] N. H. Du and N. T. Dieu (2011), The first attempt on the stochastic calculus
on time scale, Journal of Stochastic Analysis and Application. 29, 1057 - 1080.
[4] N. H. Du and N. T. Dieu (2012), Stochastic dynamic equation on time scale, accepted in Acta Mathematica Vietnamica.
[5] S. Hilger (1988), Ein Makettenkalkăaul mit Anwendung auf Zentrumsman- nigfaltigkeiten,Ph.D. thesis, Universitaat Wăaurzburg.
[6] N. Ikeda and S. Wantanabe (1981), Stochastic differential equations and diffusion processes,North Holland, Amsterdam.
[7] D. Kannan và B. Zhan (2002), A discrete - time Itô's formula, Stochastic Analysis and Applications. 20, 1133 - 1140.
[8] H. P. McKean. Jr (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York. [9] P. E. Protter (2004), Stochastic integration and differential equations,