Cho G= (V, E) là một đồ thị liên thông vô hướng. Một đỉnh của G được gọi là điểm khớp nếu ta lấy điểm đó ra khỏi đồ thị thì G trở thành đồ thị không liên thông.
Một cầu trong G là một cạnh mà khi ta dời nó đi thì đồ thị không còn là đồ thị liên thông nữa.
Một thành phần nhị liên thông của G là tập cực đại các cạnh của G mà bất kỳ hai cạnh nào trong tập hợp đó đều nằm trên một vòng đơn chung. Hình 22.10 mô tả những định nghĩa này. Chúng ta có thể xác định điểm khớp, các cầu và thành phần nhị liên thông bằng cách tìm kiếm theo chiều sâu. Cho Gπ= (V, Eπ) là một cây tìm kiếm theo chiều sâu của G.
a. Chứng minh rằng gốc của của Gπ là một điểm khớp của G khi và chỉ khi nó có ít nhất 2 con trong Gπ
b. v không phải là đỉnh của Gπ . Chứng minh rằng v là một điểm khớp của G khi và chỉ khi v có một con s mà không có cạnh sau từ s hoặc bất kỳ một cạnh con cháu nào đó của s đến cha thật sự của nó.
c. Cho low(v) = min ) , ( : ] [ ], [ v u w d v d
Hãy chỉ ra bằng cách nào có thể tính được low(v) đối với mọi đỉnh v ∈ V trong
0(E) thời gian.
d. Hãy chỉ ra cách tính toán tất cả các điểm khớp trong thời gian 0(E)
e. Chứng minh rằng một cạnh của G là một cầu khi và chỉ khi nó không nằm trên bất kỳ một chu trình nào của G.
f. Chỉ ra cách tính tất cả các cầu của G trong thời gian 0(E)
g. Chứng minh rằng thuật toán với độ phức tạp 0(E) gán nhãn cho mỗi cạnh e của G với một số nguyên bcc[e]= bcc[e′] khi và chỉ khi e và e′ là ∈ cùng một thành phần nhị liên thông.