I. of Probability Theory and its application (In Russian) v 3 (); No 1,1994;pag.23-129.
4.Mô hình động học của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu.
Vào 1900 trong luận án tiến sĩ của mình "Théorie de la speculation" L.Bachelier dã chỉ ra rằng sự thay đổi của giá mỗi loại chứng khoán có dạng:
AS, = S(tH-At) - S(t) =oU/V )
Đến năm 1923 N.W iener đã xây dựng quá trình Wiener có tính chất: E( W HAt -W, y- = A t.
Như vậy về trung bình AW| w và sau đó 1905 Alber Eintein đã nhận xét rằng hiệu quả đã được nhận xét bởi Bachelier tỏ ra hợp lý nếu giá s, chịu tác động của nhân lố ngỗu nhiên W iener là tổng hợp của vô số cóc tác nhân kinh tế vô cùng bé như trong mô hình dưới đây :
(4.1) ds, = a(t) dt + b(t) dW(t) .
Năm 1965 P.Samuelson theo sáng kiến của L.Savage đã nhận xét rằng nếu giá chứng khoán tuân theo mô hình (4.1) thì nó có thể âm và không phù hợp với thực
tế. Vì vậy ông ta đã để suất mô hình chuyển động Brown hình học để mô tả động học của giá :
(4.2) s, - S0 exp {( a-b2 /2)t + b W ,} hoặc dS, / s, = a dt + b dW,
Khi đó s, > 0 , v t tức là gia số của ln(St) là một chuyển động Brown có dịch chuyển. Một ví dụ vể mô hình (4.2)chính là giá của tài khoản ngân hàng B = { B| t > 0 } : (4.3) dBt = r Bị dt hoặc Bị = B, exp (r t ), r là lãi suất không đổi.
Đó là trường hợp đặc biệt của (4.2) với b = 0 .
Đối vơi trường hợp thời gian rời rạc J.Cox, R.A.Ross, M.Rubinstein đã đưa ra mô hình di động ngẫu nhiên rời rạc để mô tả động học của dãy các giá chứng khoán : (4.4) s n = stv1 ( 1+ pn) hoặc Sn = So (1 + p, )...(1+Pn)
trong đó { pn } là dãy Bernoulli với p { |)n = u } = p , p { pn - d } = 1-p, trong đó u và d là các giá trị ứng với các trường hợp khi giá chứng khoán lên (up) và xuống (down) .
Hiện nay người ta đã xét nhiều mô hình tổng quát nhưng phức tạp hơn nhiều, kể cả cả các mô hình khuyêch tán có bước nhảy.
Một trong CÍ1C mỏ hình đơn giản thuộc loại củc mô hình nói trôn là mô hình vể giá của tài khoản ngân hàng (bank account) với lãi sUcit không đổi hoặc thay đổi |-={r„CKt<T}.
Giá B|(T) tại thời điểm t được xác định bởi : (4.5) B,(T) = exp { - '\, (,),(,}, B,(T) = 1
I
Cấu trúc của giỏ B,(T) phụ thuộc vào quá trình lãi suất r(t), quá trình này thường được giả thiết cớ câu trúc khuyếch tán sau đây :
(4.6) dr(t) = a ( t, r , ) dt + b (t, r , ) d w t
Một Irong cóc quá trinh lãi suất được đưa ra bởi Vasícek (1977) chính là quá trình Ornstein-Ulenbec
(4.7) drt = a ( r - r , ) dt + b d W ,, r là hằng số.
5. Bài toán phân bổ vốn đầu tư và tính chất không có trọng tài và tính đẩy đủcủa m ột thị trư ờ n g chứng khoán .