Biến đổi Fourier là một biến đổi tích phân dùng để khai triển một hàm số theo các hàm số sin cơ sở, có nghĩa là dưới dạng tổng hay một tích phân của các hàm số sin được nhân với các hằng số khác nhau (hay còn gọi là biên độ). Biến đổi Fourier có rất nhiều dạng khác nhau được mô tả dưới đây, chúng phụ thuộc vào dạng của hàm được khai triển [1,6].
- Phƣơng pháp DFT
Phương pháp biến đổi Furrier rời rạc (DFT) là một trong hai phương pháp phổ biến nhất, mạnh và thường được ứng dụng trong xử lý tín hiệu. DFT cho phép chúng ta có thể phân tích, thao tác và tổng hợp tín hiệu theo những cách thức mà phương pháp xử lý tín hiệu tương tự không thể làm được về thực chất nó là một công cụ toán học cho phép chúng ta xác định phổ của tín hiệu rời rạc.
Giả sử tín hiệu x(n) = 0 với mọi n<0 và n ≥N, trong đó N là một số nguyên cố định, N có thể lớn hoặc nhỏ là tùy thuộc vào từng ứng dụng. Thường N là bội được tính như sau: N=2i
.
Phép biến đổi Fourier rời rạc được định nghĩa như sau:
(1-26)
Với k =0, 1, 2, …, N-1
Từ công thức trên ta thấy rằng Xk là hàm của biến nguyên k. Phép biến đổi Fourier ngược của x(n) được định nghĩa như sau:
(1-27)
Như vậy chúng ta thấy rằng các phép nhân trong công thức biến đổi Fourier thuận và nghịch thường là các phép nhân phức. Để nhân được hai số phức thì phải cần 4 phép nhân thực. Trong phần phân tích dưới đây chỉ tính đến các phép nhân phức còn các phép cộng cần để thực hiện DFT hay IDFT các phép tính này sẽ không cần tính đến.
Có thể dễ dàng thấy rằng khi N lớn thì tổng số phép tính phải thực hiện là khá lớn. Lấy ví dụ khi N = 1024 thì số phép nhân là 1048576 như vậy để tính được DFT thì cần thực hiện cả thảy hơn một triệu phép nhân đây là một gánh nặng khá lớn và chính điều này dẫn đến những hạn chế của phương pháp này và tạo tiền đề cho sự ra đời của phương pháp FFT.
- Thuật toán FFT
Mặc dù DFT là thuật toán tính toán trực tiếp phổ của một chuỗi tín hiệu rời rạc trong miền thời gian nhưng do hạn chế bởi số phép tính cần phải thực hiện là quá lớn khi số điểm phổ cần tính toán từ vài trăm đến vài nghìn nên đòi hỏi phải có các thuật toán cho tính toán DFT của tín hiệu hiệu quả hơn. Vào năm1965 Cooley và Tukey đã đưa ra một thuật toán rất hiệu quả dùng để tính toán DFT nó cho phép giảm số phép tính cần tính toán đi rất nhiều. Mặc dù có rất nhiều bài báo và công trình nghiên cứu về FFT nhưng thuật toán hiện đang được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay đó là radix 2- FFT. Nếu giả sử số mẫu là N thì số phép tính cần thực hiện là (Nlog2N) như vậy số phép nhân cần phải thực hiện giảm đi rất nhiều khi so với DFT. Chẳng hạn như cũng giống như ví dụ ở trên khi N = 1024 thì số phép nhân phải thực hiện là :
1024 log2*1024 = 10240 phép nhân.
Như vậy số phép nhân giảm đi rất nhiều so với hơn một triệu phép tính ở phần trên.
- Phƣơng pháp SDFT (DFT trƣợt )
Giả sử chúng ta cần xử lý tính toán phổ của tập N tín hiệu trong luồng dữ liệu vào. Công thức tính DFT của N mẫu (l=N) có dạng :
(1-28)
trong đó l là mẫu hiện thời và tổng chạy từ k=0 đến k=N-1. Khi ∆ mẫu mới được cập nhật thì DFT của chúng là
(1-29)
Bằng cách biến đổi X(l+Δ+n) theo X(l+n) ta được: x(l+Δ+n) = X(l+n).
(1-30) Từ công thức chúng ta thấy rằng số phép nhân phức cần thực hiện để tính toán một điểm phổ của mảng tín hiệu mới với bước trượt ∆ là (∆ + 1) suy ra số phép tính cần phải thực hiện khi tính toán N điểm phổ là (∆ + 1)*N do vậy khi ∆ tăng lên thì số phép nhân phức của thuật toán SDFT tăng tỉ lệ theo. Do đó hiệu quả của SDFT so với FFT giảm. Nó sẽ giảm đến một giá trị nào đó thì số phép tính nhân cần thực hiện lớn hơn khi thực hiện bằng thuật toán FFT và không còn hiệu quả nữa. Như vậy SDFT hiệu quả nhất trong trường hợp chỉ có một mẫu đưa vào tại một thời điểm. Lấy ví dụ trường hợp ∆ = 4 thì số phép tính của SDFT ít hơn hoặc bằng số phép tính nhân phức cần thực hiện bằng phương pháp FFT khi N ≥ 24 +1 = 32. Để tiện so sánh tác giả đưa ra đồ thị so sánh số phép tính cần thực hiện của ba phương pháp tính kể trên.
Hình 1.38: So sánh số phép tính phải thực hiện của DFT, FFT và SDFT
Từ đồ thị trên chúng ta thấy rằng khi số điểm phổ cần tính toán tăng lên thì số phép tính cần phải thực hiện của phương pháp DFT là lớn nhất còn lúc N nhỏ thì số phép tính cần phải thực hiện bởi phương pháp SDFT nhiều hơn so với FFT nhưng khi N càng lớn thì số phép tính cần phải thực hiện bằng phương pháp SDFT giảm đi so với FFT và đến một giá trị nào đó hai đồ thị này giao nhau và số phép tính thực hiện bằng SDFT sẽ nhỏ hơn khi so với FFT kể từ vị trí giao nhau.