Cách chứng minh mới về tính đúng đắn của thuật toán

Nhận xét 3.1. Theo định nghĩa tập Zα và tính chất của ma trận trọng số W thì có thể suy ra: tập Z2r1 Ø.

Chứng minh Z2r1 Ø

Đặt α = 2r-1 thì giá trị α {1,2,…,2r-1}

Theo tính chất của ma trận trọng số W, các phần tử của W cần thoả mãn:

{Wi,j |i=1..m, j=1..n} = {1,2, …,2r

-1}

Vì vậy phải tồn tại ít nhất một cặp (i,j) sao cho Wi,j = α .

Mặt khác do T là ma trận nhị phân nên Ti,j có giá trị bằng 0 hoặc 1. Xét các trường hợp:

- Nếu Ti,j = 0: Do Wi,j = α nên (i,j) thoả điều kiện thứ nhất trong (2.6), vậy (i,j)  Zα

- Nếu Ti,j = 1: Do Wi,j = α mà α = 2r-1

= 2r – α nên (i,j) thoả điều kiện thứ hai trong (2.6), vậy (i,j)  Zα

Do đó tập Z2r1 Ø.

Nhận xét 3.2. nếu Zα = Ø thì Z -αØ

Chứng minh

Theo (2.6) định nghĩa về tập Zα = {(i,j) | (Wi,,j=α và Ti,j = 0) hoặc (Wi,j=2r-α và Ti,j=1)}

Do Zα = Ø và theo định nghĩa 2.3.2 ma trận trọng số W luôn thoả mãn điều kiện {Wi,j |i=1..m, j=1..n} = {1,2, …,2r-1}. Vì vậy, phải tồn tại một phần tử (u,v) để (Wu,v = α và Tu,v = 1) hoặc (Wu,v = 2r - α và Tu,v = 0)

Mà 2r - α = - α (mod 2r) = - α.

Do đó, khi Zα = Ø sẽ tồn tại (u,v) để (Wu,v = - α và Tu,v = 0) (2.10)

Từ (2.10) và (2.6), ta suy ra khi Zα = Ø thì Z -αØ

Vì h là số tự nhiên đầu tiên thoả mãn điều kiện Zhd Ø, suy ra Z( h - 1)d = Ø. Theo (2.10) khi Z( h - 1)d = Ø thì Zd-hd Ø, vì vậy phép chọn phần tử (u,v) trong (2.9) luôn thực hiện được.

Nhận xét 3.3. Luôn tồn tại h sao cho hd = 2r-1 (mod 2r)

Chứng minh.

2r-1.d = 2r-1.2t+2r-1 suy ra 2r-1.d = t.2r+2r-1 = 2r-1 (mod 2r) Chọn h = 2r-1 ta có hd = 2r-1

Trường hợp 2: Nếu d chẵn và d chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 thì có thể biểu diễn d dưới dạng: d = 2u (với u ≤ r-1). Xét các khả năng:

+ Nếu u = r-1 thì chọn h = 1 ta có hd =1.2r-1= 2r-1

+ Nếu u < r-1 thì chọn h = 2(r-1)-u ta có hd = 2(r-1)-u.2u = 2r-1

Trường hợp 3: Nếu d chẵn và d chứa cả các thừa số nguyên tố khác 2 thì có thể biểu diễn d dưới dạng: d = (2t+1)2v (với 1 ≤ v < r-1)

Chọn h = 2(r-1)-v ta có: hd = 2(r-1)-v (2t+1).2v

= (2t+1)2r-1 = t.2r + 2r-1 = 2r-1 (mod 2r)

Chứng minh tính đúng của thuật toán.

Theo nhận xét 2.1: để chứng minh tính đúng của thuật toán cần chỉ ra tồn tại h sao cho ZhdØ.

Theo nhận xét 3.3 luôn tồn tại h sao cho hd = 2r-1 (mod 2r). Mặt khác theo nhận xét 3.1 tập Z2r1 Ø do đó luôn tồn tại h sao cho ZhdØ. Điều đó chứng tỏ thuật toán luôn thực hiện đúng.