Phương pháp thiết kế dựa trên chỉnh định Ziegler – Nichols

3.3.1 Phương pháp chỉnh định thứ 1

Có nhiều phương pháp để có thể thiết kế bộ điều khiển PID (ví dụ như dùng quỹ đạo nghiệm số, đáp ứng tần số …), trong phần này ta sẽ dùng đến phương pháp Zeigler – Nichols để chỉnh định và thiết kế bộ điều khiển PID [13].

Phương pháp Zeigler – Nichols là phương pháp thực nghiệm để thiết kế bộ điều khiển P, PI hoặc PID bằng cách dựa vào các đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển ở vòng hở hoặc vòng kín. Bộ điều khiển PID cần thiết kế có hàm truyền là:

1 ( ) I 1 C P D p D I K G s K K s K T s s T s             (3.3)

Phương pháp thứ nhất của Zeigler – Nichols dựa vào đáp ứng vòng hở của đối tượng (hình 5.1), áp dụng cho các đối tượng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc có dạng chứ S (ví dụ hình 5.2).

 Thông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau [13] Hình 3.1 Mô hình ước lượng thống số PID trong trường hợp 1

Plants G(s) PID

u(t) y(t)

18

KP TI TD

P T2/(T1.K) ∞ 0

PI 0,9.T2/(T1.K) T1/0,3 0

PID 1,2.T2/(T1.K) 2.T1 0,5.T1

Bảng 3.1 Công thức ước lượng thông số PID theo phương pháp 1

 Tiếp tục chỉnh định các thông số KP, TI, TD để đáp ứng quá độ phù hợp 3.3.2 Phương pháp chỉnh định thứ 2

Phương pháp chỉnh định thứ 2 dựa vào đáp ứng vòng kín của đối tượng, áp dụng cho các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng. Lúc này, đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc ở vòng hở sẽ tiến ra vô cùng. Thông số bộ điều khiển PID sẽ được ước lượng như sau [13]:

 Tăng hệ số khuếch đại vòng kín lên tới giá trị Kgh, khi đó đáp ứng của hệ kín ở trạng thái xác lập sẽ dao động điều hòa với chu kỳ Tgh (lúc này hệ thống đang ở biên giới ổn định). Hình 5.4

 Thông số bộ điều khiển được ước lượng từ Kgh và Tgh như sau

Hình 3.3 Mô hình ước lượng thống số PID trong trường hợp 2 Plants

G(s)

u(t) y(t)

Kgh

19

KP TI TD

P 0,5.Kgh ∞ 0

PI 0,45.Kgh 0,83.Tgh 0

PID 0,6.Kgh 0,5.Tgh 0,125.Tgh

Bảng 3.2 Công thức ước lượng thông số PID theo phương pháp 2

20

CHƯƠNG 4 THIẾT KẾ LUẬT ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP ĐỂ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC HỆ THỐNG PHẢN ỨNG TRONG CSTR 4.1 Những hạn chế của mô hình tuyến tính gần đúng và bộ điều khiển PID được thiết kế

Mô hình tuyến tính gần đúng (được xây dựng trong chương 3) được thiết lập bằng khai triển Taylor của các hàm phi tuyến tại điểm cân bằng ban đầu. Nhờ đó, ta có thể chuyển một mô hình phi tuyến phức tạp thành một mô hình tuyến tính gần đúng đơn giản hơn. Hệ quả là, ta có thể tận dụng được những công cụ có sẵn từ lý thuyết điều khiển hệ thống tuyến tính. Tuy nhiên, mô hình tuyến tính của hệ thống chỉ đúng tại lân cận vị trí cân bằng mà ta xét (điểm được xấp xỉ), khi trạng thái ban đầu của hệ thống lệch ra xa khỏi lân cận điểm cân bằng, thì đặc tính hệ thống mà ta xấp xỉ sẽ sai lệch rất nhiều so với mô hình phi tuyến gốc của hệ thống. Đây chính là hạn chế của phương pháp tuyến tính hóa gần đúng.

Bộ điều khiển PID và PI được thiết kế từ hàm truyền tuyến tính hóa gần đúng chỉ điều khiển chính xác hệ thống nếu trạng thái ban đầu của hệ thống thuộc lân cận của điểm cân bằng mà ta đang xét và có thể mất đi ý nghĩa điều khiển hoặc điều khiển không chính xác hệ thống nếu trạng thái ban đầu của hệ thống không nằm trong lân cận này. Đây chính là động lực để nghiên cứu tiếp tục đi xa hơn. Đó là thiết kế một bộ điều khiển hồi tiếp khác có thể áp dụng trực tiếp trên mô hình phi tuyến và ổn định được hệ thống phản ứng ở mọi giá trị ban đầu khác nhau và ở mọi điểm cân bằng khác nhau. Trong nghiên cứu [6], tác giả đã đề ra luật điều khiển hồi tiếp dựa trên đặc tính của các hàm nhiệt động lực học của hệ thống. Bên cạnh đó, nghiên cứu [19] đã đưa ra một phương pháp thiết kế luật điều khiển hồi tiếp khi hệ thống được điều khiển bằng nhiều đầu vào. Tuy nhiên, nhìn chung thì các luật điều khiển lại khá phức tạp và khó triển khai trong công nghiệp vì khó chỉnh định nếu mô hình toán học và các thông số hóa lý được sử dụng để thiết kế sai lệch so với thực tế. Bộ điều khiển PID, PI tuy có những hạn chế như đã nêu nhưng lại có một ưu điểm mà khó có bộ điều khiển nào sánh được. Đó chính là khả năng ứng dụng dễ dàng vào công nghiệp. Ngày nay, các bộ điều khiển PID đã được hoàn thiện về phần cứng khá nhiều. Những công ty sản xuất phần cứng nỗi tiếng (như Siemens) đã đóng gói nó hoàn toàn, người dùng (hay các kỹ sư vận hành) chỉ cần kết nối nó với hệ thống và vận hành hợp lý (xác định các thông số của bộ điều khiển) là đã có thể điều khiển được quá trình tại trạng thái cài đặt mong muốn.

Từ những ưu điểm và hạn chế của bộ điều khiển PID kể trên, các nghiên cứu bắt đầu tập trung hơn về nó để có thể tận dụng được ưu điểm về khả năng ứng dụng dễ dàng trong công nghiệp và tìm cách khắc phục hạn chế của nó (tầm hoạt động chính xác bị giới hạn trong lân cận trạng thái cân bằng đang xét). Những nghiên cứu có thể kể đến như [25-27]. Luận văn sẽ tập trung vận

21

dụng những kết quả từ các nghiên cứu đi trước vào đối tượng đang xét để đạt mục tiêu ổn định toàn cục hệ thống phản ứng tổng hợp cyclopentenol từ cyclopentadiene trong thiết bị CSTR. Từ đó hệ thống sẽ vận hành an toàn và đạt chất lượng cao hơn.

4.2 Khái niệm về ổn định hệ thống - ảnh hưởng của các cực và zero đến đặc tính ổn định hệ thống 4.2.1 Những minh họa ban đầu về đặc tính ổn định của hệ thống

Hình 4.1 minh họa 3 trường hợp cân bằng của một quả cầu trên các bề mặt khác nhau: ổn định, biên giới ổn định và không ổn định.

Ta thấy rằng nếu kích thích quả cầu bằng một lực ban đầu đủ bé thì ở trường hợp thứ nhất, quả cầu luôn có thể trở về vị trí cân bằng ban đầu của nó. Ta gọi đây là vị trí cân bằng ổn định. Ở trường hợp thứ 2, quả cầu sẽ tiến tới một vị trí cân bằng khác tùy thuộc vào kích thích ban đầu mà ta tác động. Đây là trạng thái cân bằng ở biên giới ổn định. Đối với trường hợp thứ 3, quả cầu đang ở trạng thái cân bằng không ổn định vì chỉ cần một tác động kích thước nhỏ từ bên ngoài thì quả cầu sẽ không thể trở về vị trí cần bằng đó nữa, nó sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng khác.

4.2.2 Đặc tính ổn định của hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian – ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) Input Bounded Output)

Những hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian là những hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Khảo sát đặc tính ổn định trong phần này sẽ giới hạn trong cho các hệ tuyến tính này.

Định nghĩa: ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output)

Một hệ thống được gọi là ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (một tín hiệu bị chặn sẽ tồn tại giới hạn hữu hạn khi thời gian vô cùng lớn).

22

4.2.3 Những phương pháp xác định đặc tính ổn định của hệ thống tuyến tính Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau

Tiêu chuẩn Nyquist: hệ thống vòng kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở

G(s) bao điểm tới hạn (-1, j0) 2

l

vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi 

thay đổi từ 0  ∞, trong đól là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.

Định lý ổn định Bode: hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống vòng hở G(s) có độ dự trữ

biên (biên độ tại tần số cắt pha (tần số có góc pha là 180o)) và độ dự trữ pha (bằng 180o + góc pha tại tần số cắt biên (tần số có biên độ = 0)) dương.

 Tiêu chuẩn ổn định đại số - định lý Routh – Hurwitz

 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Phần chi tiết về hai phương pháp còn lại có thể được tham khảo trong [13]. 4.2.4 Hạn chế của lý thuyết ổn định BIBO khi áp dụng vào các hệ thống phi tuyến

Lý thuyết ổn định BIBO chỉ có giới hạn trên các hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian. Khi áp dụng nó lên các hệ phi tuyến (ví dụ như hệ thống phản ứng trong công nghệ hóa học, hay hệ thống con lắc ngược…) thì không còn đúng nữa. Điều này có nghĩa là sẽ tồn tại một đầu vào bị chặn nhưng lúc đó đầu ra của hệ thống sẽ tiến với vô cùng.

Ví dụ: xét hệ thống phi tuyến được mô tả bởi phương trình trạng thái sau đây

2

dx

x xu dt    Ứng với u=0, hệ có ( ) t 0 0, 0

x t e x  x nên hệ thống ổn định tiệm cận toàn cục. Song, khi bị kích thích bởi u=1 thì hệ lại có x t( )e xt 0   , x0nên hệ thống không ổn định.

Hình 4.2 Hệ thống điều khiển hồi tiếp vòng kín Plants

G(s)

23

4.3 Định lý ổn định tiệm cận Lyapunov cho hệ thống phi tuyến 4.3.1 Khái niệm ổn định tiệm cận cho hệ thống phi tuyến 4.3.1 Khái niệm ổn định tiệm cận cho hệ thống phi tuyến

Để xét đặc tính ổn định đối với các hệ thống phi tuyến một cách chặt chẽ, các nghiên cứu đã đề ra định nghĩa ổn định tiệm cận cho nó

Định nghĩa: ổn định tiệm cận cho hệ thống phi tuyến

Một hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng xe, nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa hệ đến đến điểm x0 thuộc một lân cận nào đó của xe thì sau đó, hệ vẫn có khả năng tự quay về được điểm cân bằng xe.

Về mặt toán học, định nghĩa trên được viết như sau lim ( ) e 0

t x t x

   với x0.

Chú ý: đối với hệ thống phi tuyến, đặc tính ổn định chỉ có nghĩa khi đi kèm với điểm với điểm cân bằng. Hệ thống ổn định tại điểm cẩn bằng này nhưng chưa chắc có thể ổn định tại vị trí cân bằng khác.

Ví dụ: các trạng thái cân bằng của con lắc

Trạng thái cân bằng bên phải của con lắc là trạng thái cân bằng ổn định vì với mọi tác động ban đầu không quá lớn đưa con lắc dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng thì nó vẫn trở về được vị trí cân bằng ban đầu sau một thời gian quá độ. Ngược lại, trạng thái cân bằng bên trái là trạng thái cân bằng không ổn định vì với một kích thích ban đầu, con lắc sẽ ngay lập tức rời khỏi vị trí cân bằng này và di chuyển về vị trí cân bằng bên phải.

24 4.3.2 Định lý ổn định tiệm cận Lyapunov

Để có thể chứng minh đặc tính ổn định cho hệ thống phi tuyến, Lyapunov đã chứng minh định lý mang tên ông. Đó là một trong những công cụ rất mạnh và còn được sử dụng cho tới ngày nay

Định lý ổn định tiệm cận Lyapunov: cho hệ thống phi tuyến không bị kích thích mô tả bởi

phương trình trạng thái

0 ( , )u

x f x u  (1) và cân bằng tại xe=0.

Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho miền   n chứa điểm cân bằng xe =0 và V(x) thỏa mãn

 V(x)>0 x\{0}

 V(0)=0

 V x( )  0, x

Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại 0

Nếu ( )V x   0, x \{0}hệ thống ổn định tiệm cận Lyapunov tại 0.

Nếu nthì hệ thống (1) sẽ ổn định toàn cục hoặc ổn định tiệm cân toàn cục Lyapunov. Chú ý: Hàm V(x) thông thường được chọn là hàm toàn phương theo biến trạng thái. 4.4 Những giả thuyết tiếp theo và tính chất của hệ thống phản ứng

4.4.1 Nguyên lý bảo toàn khối lượng

Quá trình phản ứng Van de Vusse được viết lại như sau:

1 2 3 2 k k k A B C A D   

Động học quá trình được mô tả bởi hệ phương trình vi phân sau:

        0 0 (C, T) C, J F C C C Er V F T T T Hr T T T V                (4.1) Trong đó:

 VectorCC CA, BT là vector nồng độ của các cấu tử trong hệ phản ứng.

25

 T là nhiệt độ trong bình phản ứng.

 TJ là nhiệt độ dòng làm mát của vỏ áo.

 2 1 2 3 ( , ) A, B, A T r C T  k C k C k C  là vector tốc độ mô tả động học phản ứng.  1 0 2 1 1 0 E          là ma trận hệ số tỷ lượng.   1 2 3 1 , , p H H H H C  

     là vector các hằng số enthalpy của phản ứng 1, 2, 3.

 F

V lần lượt là tỷ số pha loãng và

r r

k A C

 

 trong đó kr là hệ số truyền nhiệt của vỏ áo, Ar là diện tích bề mặt truyền nhiệt của vỏ áo.

 TJ=u là nhiệt độ dòng làm mát của vỏ áo và cũng là đầu vào điều khiển.

Nguyên lý bảo toàn khối lượng: tồn tại một vector w dương thỏa mãnTE0. Dễ thấy, vector TlàT 66,84trong đó 66, 84 khối lượng mol của cyclopentadiene, cyclopentenol tương ứng.

Nguyên lý bảo toàn khối lượng bao hàm ý nghĩa lượng chất sinh ra trong quá trình phản ứng sẽ không thể lớn hơn lượng chất được tiêu thụ, nguyên lý này cũng đã được đề cập trong [26 – 28]. Dựa trên nguyên lý bảo toàn khối lượng, ta sẽ phát biểu được bổ đề về đặc tính bị chặn của quỹ đạo nồng độ theo thời gian.

Bổ đề - tính bị chặn (Uniform boundedness): từ nguyên lý bảo toàn khối lượng như trên.

Vector nồng độ C(t) là một vector không âm. Nếu C(0)  0 thì quỹ đạo C(t) sẽ bị thỏa mãn 0

T T

C C

  . Do đó, vector nồng độ bị chặn tương ứng với quỹ đạo nhiệt độ.

Nhiệt độ là một đại lượng đo đạc dễ dàng trong thực tế. Ngược lại, nồng độ là một đại lượng khó có thể đo đạc chính xác vì giới hạn của thiết bị và thường có một tính trễ lớn trong một vòng điều khiển. Trong phần 4.4.3, ta sẽ chứng minh định lý về ổn định động học đẳng nhiệt, định lý nói rằng khi quỹ đạo nhiệt độ hội tụ được về được một giá trị Te nào đó thì quỹ đạo nồng độ của tất cả các cấu tử cũng sẽ hội tụ về trạng thái ổn định tương ứng thỏa mãn hệ phương trình ổn định, vì vậy nếu ta có thể điều khiển được nhiệt độ bình phản ứng về trạng thái Te tối ưu thì các quỹ đạo nhiệt độ cũng sẽ hội tụ về trạng thái tối ưu. Do đó, ta sẽ chọn nhiệt độ là biến được điều khiển và phản hồi tín hiệu thông qua các cảm biến và bộ điều khiển.

26

4.4.2 Tính chất Liptchitz toàn cục của hàm tốc độ phản ứng

Đối với các hệ thống phản ứng, thì vector mô tả động hóa học r(C,T) sẽ có đạo hàm cấp một và thỏa mãn điều kiện Liptchitz toàn cục. Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng số dương kr để

1 1

( , ) (C, T ) r

r C T r k TT (4.2)

Giả thuyết này được đề cập trong các nghiên cứu [26 – 28] và phù hợp với hầu hết các hệ thống phản ứng trong công nghiệp. Hằng số Liptchitz có thể được ước lượng như sau

( , ) ( , ) max r C T r C T k T    (4.3) 4.4.3 Định lý ổn định tiệm cận đẵng nhiệt

Định lý: xét động học hệ thống phản ứng tổng hợp cyclopentenol từ cyclopentadiene. Nếu

nhiệt độ của hệ thống được giữ ổn định tại Te hoặc theo thời gian nó hội tụ về Te thì đáp ứng