Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với BC cắt
AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng BE và CD cắt nhau trên AM.
Lời giải : Gọi giao điểm của DE và AM là F, theo bài toán 1 ta có FD = FE, suy ra
S(BDFM) = S(BFD) + S(BFM) = S(CFE) + + S(CFM) = S(CEFM) (1).
Gọi giao điểm của BE và CD là O, nối OF, OM ta có S(DOF) = S(EOF) (do FD = FE) ; S(BOM) = S(COM) ; S(BDO) = S(CEO) (do S(BDC) = S(BEC)).
Suy ra S(BDFOM) = S(CEFOM) hay đường gấp khúc FOM chia đôi diện tích hình thang BDEC (2).
Từ (1) và (2) suy ra S(FOM) = 0 ị F, O, M thẳng hàng ị O thuộc FM (đpcm).
Lời bình : 1) Đôi khi để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta phải chứng minh tam giác có
ba đỉnh là ba điểm ấy có diện tích bằng 0.
2) Kết hợp kết quả của bài toán 1 và bài toán 3 ta có bài toán sau : “Trong một hình thang, giao điểm hai cạnh bên kéo dài, giao điểm hai đường chéo và hai trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng” (Bổ đề hình thang).
Bài toán 4 : (tính chất ba đường trung tuyến trong tam giác) Trong một tam giác, ba đường
trung tuyến đồng quy và điểm đồng quy chia mỗi trung tuyến theo tỉ số 2/3 kể từ đỉnh.
Lời giải : Vẽ các trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Nối AG cắt BC tại M. Ta sẽ chứng
minh MB = MC.
Ta có S(ABE) = S(ACF) = 1/2 S(ABC)
suy ra S(BGF) = S(CGE) => S(AGF) = S(BGF) = S(CGE) = S(AGE) => S(ABG) = S(ACG) (*).
Hạ các đường vuông góc BH, CK tới AM. Do (*) nên BH = CK, suy ra S(GBM) =
S(GCM) => BM = CM. Mặt khác, do S(ABG) = 2S(AGE) suy ra BG = 2GE hay BG/BE = 2/3
Tương tự ta có :AG/AM = CG/CF = 2/3
Lời bình : Đây là một tính chất quan trọng của hình học nhưng do hạn chế về kiến thức
(chưa học về đường trung bình trong tam giác) nên khi đưa vào chương trình lớp 7 chỉ yêu cầu học sinh thừa nhận. (Kì sau đăng tiếp)