Bài 1 : ( HSG Tiền Giang 2011) Trờn cỏc cạnh AB,BC,CA của tam giỏc ABC
lấy cỏc điểm M,N,P sao cho: AM BN PC k MB = NC = PA =
1) Cho diện tớch tam giỏc ABC là S.Tớnh diện tớch của tam giỏc MNP theo k,S. 2) Cho tam giỏc ABC cố định.Tỡm k để diện tớch tam giỏc MNP nhỏ nhất. Bỡnh luận:
Cụng việc chớnh là phần 1) Kẻ MK ⊥AC BH, ⊥AC dựng ta lột ta tớnh được:
SAMP theo S , dựng phộp tương tự ta tớnh SBMN,SCNP rồi suy ra SMNP theo S. Khi đú phần 2) dựng bất đẳng thức đại số cho ta lời giải của bài toỏn.
Bài 2 : ( Quảng Ngói 2011): Cho đường trũn (O; R), đường kớnh BC và điểm A
di động trờn đường trũn đú (với A khỏc B và C). Đường phõn giỏc của gúc BAC cắt đường trũn (O) tại K (với K khỏc A). Biết độ dài đường cao của tam giỏc ABC là AH = h.
a) Tớnh diện tớch tam giỏc AHK theo R và h.
b) Tỡm giỏ trị của h để diện tớch tam giỏc AHK đạt giỏ trị lớn nhất. A R I D K P Q O
Bỡnh luận:
a) Dễ thấy OK⊥BC. Gọi I là giao điểm của AK và OH. Ta cú ∆AHI ∆KOI HI OI HO h R R h ⇒ = = + = 2 2 R h R h − + 2 2 h R h HI R h − ⇒ = + . SAHK = 1 2IH.h +1 2IH.R = 1 2(R + h).h R2 h2 R h − + = 1 2 h R2−h2 .
b) Nhận thấy h2+ −R2 h2 =R2: Áp dụng bất đẳng thức : 2ab≤a2+b2 ta được: SAHK = 1 2 h R2−h2 = ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 R .2.h R h h R h 4 − ≤4 + − = 4
Dấu " = " xảy ra khi h = 2 2
R −h ⇔h = 2R2 . 2 . Vậy SAHK đạt giỏ trị lớn nhất khi h = 2R
2 .
Bài 3: (HSG tỉnh Nghệ An 2009) Cho đường trũn (O;R), hai đường kớnh AB VÀ CD
vuụng gúc với nhau.E là một điểm trờn cung nhỏ AD(E khụng trựng với A và D) Nối EC cắt O tại M; nối EB cắt OD tại N.
a) Chứng minh rằng: AM.ED = 2OM.EA. b) Xỏc định vị trớ điểm E để tổng OM ON
AM +DN đạt giỏ trị nhỏ nhất.
Bỡnh luận: Mấu chốt là đi chứng minh: . 1 2 OM ON AM DN = khụng đổi.Sau đú dựng Cụsi: Ta được: 2 . 2 1 2 2 OM ON OM ON AM +DN ≥ AM DN = =
Giải dấu bằng xảy ra ta cú được vị trớ của E.
Bài 4: (HSG Tỉnh Long An 2011)Cho điểm M nằm trong tam giỏc ABC cú BC = a, AC = b, AB = c. Gọi cỏc khoảng cỏch từ M đến ba cạnh BC, AC, AB tương ứng là x,y,z . Hóy xỏc định vị trớ M trong tam giỏc sao cho biểu thức : P a b c
x y z
= + + đạt giỏ trị nhỏ nhất
Bỡnh luận : Mấu chốt là ta thấy : ax by cz+ + =2SABC khụng đổi dẫn đến phộp biến
đổi: 2 2 2 a b c a b c P x y z ax by cz = + + = + + ỏp dụng bất đẳng thức quen thuộc: Với a,b,c bất kỳ và x,y,z dương : 2 2 2 ( )2
a b c a b c
x y z x y z
+ ++ + ≥ + + ≥
+ + ta cú lời giải của
bài toỏn.
Bài 5: ( HSG Tỉnh Kon tum 2013)
Cho đường trũn (O; R) và hai đường kớnh phõn biệt AB và CD sao cho tiếp
tuyến tại A của đường trũn (O; R) cắt cỏc đường thẳng BC và BD lần lượt tại hai điểm E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE và AF.
a) Chứng minh rằng trực tõm H của tam giỏc BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
b) Hai đường kớnh AB và CD cú vị trớ tương đối như thế nào thỡ tam giỏc BPQ cú diện tớch nhỏ nhất.
Bỡnh luận: b)
Mấu chốt là ta cú: PBQ .2 4. 4 ( )
BA PQ BA FE AB
S = = = EA FA+
Phỏt hiện FA.EA = AB2khụng đổi dựng Cụsi cho ta lời giải bài toỏn. Bài 6 : Cho đường trũn (O) cú đường kớnh AB = 2R. Gọi d là tiếp tuyến của tại A. Lấy M bất kỳ thuộc d.Qua O kẻ đường thẳng vuụng gúc vowisBM cắt d tại N.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của MN.
Bỡnh luận: Ta cú hai tam giỏc ABM và ANO đồng dạng 2
. 2
AM AN R
⇒ = khụng
đổi dựng Cụsi cho ta lời giải bài toỏn.
Bài 7: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Đường trũn (O) tiếp xỳc với AB,AC lần lượt ở H,K.E là điểm di chuyển trờn cung nhỏ HK của đường trũn (O).Tiếp tuyến tại E của đường trũn (O) cắt AB,AC lần lượt ở M,N. Xỏc định vị trớ của E để MN nhỏ nhất.
Bỡnh luận : MN = MH+NK. Do đú MN nhỏ nhất ⇔MH+NK nhỏ nhất ⇔BM+CN nhỏ nhất.
Để ý hai tam giỏc OMB và tam giỏc NOC đồng dạng
⇒BM.CN=OB.OC khụng đổi.Dựng Cụ si cho lời giải của bài toỏn.
Bài 8: ( Chuyờn Toỏn và chuyờn Tin KHTN 1997):Cho tam giỏc ABC ngoại tiếp đường trũn cú bỏn kớnh bằng 1. Gọi h h ha, ,b c lần lượt là độ dài cỏc đường cao hạ từ đỉnh A,B,C tới cỏc cạnh đối diện. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:
M = 12 12 12 a b b c c a h h +h h +h h + + + Bỡnh luận: Mấu chốt là ta cú dẳng thức: 1 1 1 1 a b c h +h +h = r khụng đổi với r là bỏn
kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc. Áp dụng bất đẳng thức : 1 1 1 9
a b c+ + ≥ a b c
+ +
cho ta lời giải bài toỏn
Bài 9: Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R) cho trước. Tỡm kớch thước của tam giỏc để:
a) Chu vi tam giỏc lớn nhất. b) Diện tớch tam giỏc lớn nhất.
Bỡnh luận: Xột tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O;R), cố định BC theo bài toỏn quen thuộc CABClớn nhất ⇔ ∆ABC cõn tại A.
Trong cỏc tam giỏc ∆ABC cõn tại A nội tiếp đường trũn (O;R). ta tỡm tam giỏc cú chu vi lớn nhất: Kẻ đường cao AH, dễ thấy AH đi qua O. Đặt OH =x tớnh chu vi tam giỏc ABC theo R, x ta được: CABC= 2( R2−x2 + 2R R x( + )) ỏp dụng Cụsi cho ta lời giải bài toỏn. CABC≤3 3R dấu bằng xảy ra khi tam giỏc ABC đều. IV-PHƯƠNG PHÁP 4: ỨNG DỤNG HÀM SỐ
Bước 1: Chọn một hoặc vài đại lượng liờn quan làm biến số.
Bước 2: Biểu thị đại lượng cần tỡm cực trị là hàm số của biến số đó chọn. Bước 3: Khảo sỏt sự biến thiờn của hàm số để rỳt ra cực trị cần tỡm.
Chỳ ý : Đõy là một phương phỏp mạnh nhưng ở cấp THCS khi dựng việc khảo sỏt hàm số cú nhiều khú khăn nhưng việc làm quen với nú giỳp cỏc em cú một tư tưởng hiện đại để tiếp tục vận dung ở cỏc lớp tiếp theo.
2) Cỏc vớ dụ minh họa và phõn tớch hướng giải:
Bài 1: (Trớch Đề thi chọn HSG Toỏn Quốc Gia THCS năm học 1994- 1995) Cho tam giỏc ABC cú gúc nhọn A và độ dài cỏc cạnh AB=c, AC=b. Một cỏt tuyến quay quanh trọng tõm G của tam giỏc ABC cắt cỏc cạnh AB,AC lần lượt ở M và N.
a) Gọi độ dài đoạn AM là x, diện tớch tứ giỏc BMNC là S. Hóy tớnh S theo b,c, à
A cho trước và x.
b) Xột sự đồng biến, nghịch biến của hàm số S theo biến số x trong khoảng xỏc định của nú và tớnh giỏ trị lớn nhất của hàm số S trong khoảng xỏc định đú.
Phõn tớch : a) Đõy là một vớ dụ cho thấy ngay ý đồ của lời giải là sử dụng tư tưởng hàm số. Trước tiờn ta thực hiện phần a: Với ý tưởng dựng Ta lột từ B, C kẻ cỏc đường thẳng song song với MN cắt trung tuyến AD của tam giỏc ABC lần lượt ở E,F. Dễ thấy ∆BED= ∆CFD g c g( . . )⇒DE DF= ⇒ AE AF+ =2AD(1)
Lại cú theo Ta lột: AB AE AC, AF AB AC AE AF AM AG AN AG AM AN AG + = = ⇒ + = (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2 3 2 3 AB AC AD AG AD AM AN AG + = = = ữ ⇒ 3 3 c b bx AN x+ AN = ⇒ = x c − (3) Ta lại cú: S = 1 . 1 . .sin 2 2 ABC AMN S −S = bc sinA− AM AN A(4) B G D C A E N M F
Từ (3) và (4) ⇒S=1.sin 2 2 3 bx A bc