Chương 2 Cực tiểu hàm lồi trên tập lồ
2.3.1. Bài toán với ràng buộc đẳng thức 1 Xét bài toán
1. Xét bài toán
min f x xC , P2
trong đó C là tập affine và C M a với M là một không gian con của n
và
aC, f là một hàm lồi trên n
.
Định lý 2.4. a) Giả sử f liên tục tại một điểm của C, x* là một nghiệm của bài toán P2 . Khi đó
*
f x M (2.3)
với n , 0,
M z z x x M .
b) Giả sử (2.3) đúng tại x*C. Khi đó x* là nghiệm của bài toán P2 . Chứng minh. a) Ta có * *
0 f x NC x , * *
C M
N x N x vì CM a với M là một không gian con của n
và
aC.
Mặt khác vì M là một không gian con của n
nên * M N x M . Do đó * 0 f x M. Suy ra * f x M . b) Giả sử *
f x M với x*C. Khi đó tồn tại *
x f x M . Vì xx*M với xC nên * * 0 x x, x f x f x , x C. Do đó x* là nghiệm của bài toán P2 .
2. Xét bài toán
trong đó n i, , 1, 2,...,
i
C x a x α i m với in
a và αi, i 1, 2,...,m
và f là hàm lồi trên n
, liên tục tại một điểm của C.
Định lý 2.5. x* là nghiệm của bài toán P3 khi và chỉ khi tồn tại các số λi với