Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thử nghiệm số của các ph−ơng pháp PIRKC. Chúng tôi hạn chế sự xem xét đối với các ph−ơng pháp PIRKC dựa trên véctơ trùng khớp đối xứng cvới số lẻ các điểm trùng
khớp đã đ−ợc nghiên cứu trong [15]. Các ph−ơng pháp hiệu chỉnh dạng RK
s−nấc liên tục (2.1.1)-(2.1.3) dựa trên các véctơ trùng khớp đối xứng này có cấp chính xácp p= *= +s 1 (xem trong [15, Định lý 2.1], và Định lý 2.1.1 trong phần 2.1 của ch−ơng này). Các véctơ trùng khớp đ−ợc chọn sao cho bán kính phổ ρ( )A của ma trận Runge-Kutta A là cực tiểu, nh− vậy các ph−ơng pháp PIRKC định nghĩa trong (2.2.1)-(2.2.4) có tốc độ hội tụ “tối −u” (xem trong [15]). Bảng 2.1 d−ới đây liệt kê danh sách các cặp ổn định của các ph−ơng pháp PIRKC chỉ ra ở trên với cấp chính xác t−ơng ứng p= 4, 6, 8, 10. Từ bảng 2.1 ta thấy rằng biên ổn định ảo của các ph−ơng pháp PIRKC biến đổi không theo qui luật.
Bảng 2.1. Các cặp ổn định (βre( )m , βim( )m )
cho các ph−ơng pháp PIRKC cấp p khác nhau
Ph−ơng pháp PIRKC P = 4 P = 6 P = 8 P = 10 m = 1 (0.783, 0.000) (0.800, 0.643) (0.243, 0.000) (0.057, 0.000) m = 2 (1.499, 1.047) (1.226, 1.124) (0.558, 0.474) (0.245, 0.227) m = 3 (2.601, 2.020) (1.292, 1.228) (0.665, 0.670) (0.507, 0.511) m = 4 (2.630, 1.275) (1.484, 0.010) (0.986, 0.007) (0.887, 0.006) m = 5 (2.475, 2.124) (1.656, 0.040) (1.193, 0.031) (0.976, 0.026) m = 6 (2.516, 0.061) (2.049, 1.367) (1.512, 1.270) (1.206, 1.079) Từ bảng 2.1, chúng ta có thể chọn một tập tất cả các ph−ơng pháp PIRKC có cấp chính xác đến 10 với 2 hoặc 3 (m = 2, hoặc m = 3) lần yêu cầu tính hàm vế phải f trên mỗi b−ớc với tính ổn định chấp nhận đ−ợc cho các bài toán không c−ơng (xem Định lý 2.2.1).
Trong phần sau chúng tôi sẽ so sánh các kết quả thử nghiệm số của các ph−ơng pháp PIRKC với các ph−ơng pháp song song và các mã tuần tự DOPRI5 và DOP853 RK có trong các tài liệu. Với các ph−ơng pháp PIRKC,
trên b−ớc đầu tiên chúng tôi luôn luôn sử dụng các dự báo tầm th−ờng xác định bởi công thức
Y0,(0) , i = y0 i=1,...,s.
Sai số tuyệt đối nhận đ−ợc ở điểm cuối cùng của đoạn tích phân đ−ợc biểu diễn d−ới dạng 10 ( biểu diễn số trung bình các chữ số thập phân có nghĩa). Các nỗ lực tính toán đ−ợc đo bằng các giá trị ký hiệu là tổng số lần yêu cầu tính toán tuần tự hàm vế phải
NCD
− NCD
Nseq
f trên tổng số các b−ớc tích phân ký hiệu là . Bỏ qua các nhân tố cân bằng tải và thời gian truyền thông giữa các bộ xử lý trong các ph−ơng pháp song song, sự so sánh các ph−ơng pháp khác nhau trong phần này dựa trên và các . Các thử nghiệm số trên một số ít các ch−ơng trình thử đ−ợc sử dụng rộng rãi trong các tài liệu d−ới đây cho thấy tiềm năng v−ợt trội của các ph−ơng pháp PIRKC so với các ph−ơng pháp đã có. Sự v−ợt trội này sẽ càng có ý nghĩa khi xử lý trên máy tính song song nếu các bài toán thử đủ lớn và / hoặc chi phí cho các tính toán hàm vế phải
N
stp
Nseq NCDs
f cao (xem trong [7]). Để thấy đ−ợc dáng điệu hội tụ của các ph−ơng pháp PIRKC, chúng tôi tuân theo một chiến l−ợc động trong tất cả các ph−ơng pháp PC để xác định số lần lặp trên các b−ớc đạt đ−ợc. Ta yêu cầu sai số lặp và sai số địa ph−ơng của công thức hiệu chỉnh có cùng một cấp theo
. Điều đó dẫn đến tiêu chuẩn dừng (xem trong [15], [19])
h Y( )−Y( −1) ≤ TOL = ∞ p m m n n Ch , (2.3.1) trong đó C là tham số phụ thuộc vào bài toán và ph−ơng pháp, plà cấp chính xác của ph−ơng pháp hiệu chỉnh. Tất cả các tính toán đ−ợc thực hiện trên máy tính biểu diễn độ chính xác đến 29 chữ số. Việc cài đặt cụ thể thuật toán trên máy tính song song sẽ là đề tài của chúng tôi trong các nghiên cứu tiếp theo.