Trong phần này, ta xét nhiều đến phương trình sai phân (PTSP) tuyến tính thuần nhất. Bạn đọc quan tâm có thể tự tìm hiểu thêm về phương trình sai phân không thuần nhất, sẽ không quá khó để bạn đọc có thể làm điều đó. Chúng ta bắt đầu với định nghĩa và cách xác định nghiệm của phương trình sai phân trong các trường hợp đơn giản.
Định nghĩa 3.3. PTSP tuyến tính của dãy xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của dãyxn tại các điểm khác nhau:
a0xn+k+a1xn+k−1+...+akxn = fn, ∀n∈N, (1)
trong đók∈N∗; ai; i=0,1, ...,kvớia0,ak6=0là các hằng số thực, và fnlà hàm số của
n; các giá trịxn cần tìm được gọi là ẩn.
Phương trình (1) được gọi là PTSP bậck. Để tính được các giá trịxn ta phải cho trước
kgiá trị liên tiếp củaxn.
Định nghĩa 3.4. Nếu fn≡0, ∀n∈Nthì (1) trở thành
a0xn+k+a1xn+k−1+...+akxn=0, ∀n∈N, (2)
phương trình này được gọi là PTSP tuyến tính thuần nhất bậck.
Định nghĩa 3.5. Xét dãyxn, n∈Ncùng với PTSP (2). Khi đó phương trình
a0λk+a1λk−1+...+ak−1λ+ak=0 (3)
được gọi là phương trình đặc trưng của PTSP tuyến tính thuần nhất (2).
Bây giờ, ta trình bày (không chứng minh) cách xác định nghiệm tổng quát, theo công thức truy hồi, của PTSP tuyến tính thuần nhất trong một số trường hợp đơn giản, được thể hiện qua các định lý dưới đây.
Định lý 3.1. Nếu (3) có k nghiệm thực phân biệt khác nhau làλ1,λ2, ...,λk thì nghiệm tổng quátxncủa (2) có dạng xn= k ∑ i=1 ciλin, trong đó ci; i=1,2, ...,klà các hằng số thực tùy ý.
Định lý 3.2. Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm thựcλj, bộis, thì ngoài nghiệm
λjn, ta bổ xung thêm các nghiệm nλjn, n2λnj, ..., ns−1λnj. Khi đó, nghiệm tổng quát của (2) là xn= s−1 ∑ i=0 cijniλnj + k ∑ j6=i≥1 c1λin,
trong đó cij, ci là các hằng số thực tùy ý; và tổng∑thứ hai chỉ có(k−s)nghiệmλi.
Định lý 3.3. Nếu phương trình (3) có nghiệm phức (đơn)λj=a+bi=r(cosϕ+sinϕ),
trong đó r=|λj|=√
a2+b2, ϕ=argumenλj,có nghĩa là tanϕ = b
a, thì (3) cũng có
nghiệm phức liên hợpλj. Khi đó nghiệm tổng quát của (2) có dạng
xn= k ∑ j6=i=1 ciλin+rn(c1jcos(nϕ) +c2jsin(nϕ)), trong đó ci, c1j, c2i là các hằng số tùy ý.
Trong 2 định lý trên, các nghiệm còn lại đều là nghiệm thực đơn. Các trường hợp khác; cũng như đối với PTSP tuyến tính không thuần nhất, cách xây dựng nghiệm riêng và nghiệm tổng quát trong trường hợp này, bạn đọc có thể tự tìm hiểu thêm.
Ta áp dụng lý thuyết phương trình sai phân đối với hàm số khi tập xác định của hàm đó là N hoặc Z. Một trường hợp thường gặp khác khi ta làm việc với biểu thức dạng
∑
i∈N
aifi(x).Khi đó, với mỗixcố định, ta có thể xác định dãy số như sau
x0=x, x1 = f(x), x2= f2(x), ..., xk = fk(x) = f(fk−1)(x), ...