Giả sử f(x1, ..., xn)∈L1(Rn) vàfb(α1, ..., αn), α là thực, được xác định bởi
b
f(α1, ..., αn) =
Z
Rn
f(x1, ..., xn)ei(α1x1+...+αnxn)dx1...dxn.
Khi đó fb(α1, ..., αn) được gọi là biến đổi tích phân Fourier của f(x1, ..., xn). Đôi khi ta ký hiệu hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó bởi f(x) và fb(α) tương ứng.
Định lý 1.20. Nếu f(x1, ..., xn)∈L1(Rn), thì fb(α1, ..., αn) tồn tại và bị chặn với mọi α và
lim
α2 1+...+α2
n→+∞fb(α1, ..., αn) = 0. Chứng minh. Theo giả thiết, ta có
Z
Rn
|f(x)|dVn≤ M,
trong đó dVn là ký hiệu phần tử thể tích n chiều. Và,
|fb(α)| ≤
Z
Rn
|f(x)||eiPαrxr
|dVn ≤M.
Do đó fb(α) tồn tại và bị chặn với mọiα.
Chúng ta sẽ chứng minh Định lý như trước đó, với một tập con trù mật khắp nơi của lớp hàm thuộc L1 - gọi là hàm bậc thang. Giả sửg(x) = 1 bên trong hộp
n chiều ai≤xi ≤bi và g(x) = 0 bên ngoài hộp đó. Khi đó
b g(α) = Z Rn g(x)eiPαrxrdVn = b1 Z a1 eiα1x1 dx1... bn Z an eiαnxndxn.
Theo Bổ đề Riemann - Lebesgue với hàm một biến, mỗi thừa số là bị chặn và dần về không khi Pα2r →+∞. Rõ ràng rằng, nếu αr →+∞ với mỗi r thì bg(α)→0, sự hội tụ là hội tụ đều theo α. Do đó bg(α)→0 với hàm hộp, do đó cũng dần về không với hàm bậc thang. Mở rộng tới mọi hàm thuộc L1 được suy ra như mục 1.3.1. Vì mọi hàm trongL1(Rn)là một giới hạn của hàm bậc thang của loại vừa giới thiệu trong L1.
Định lý 1.21. Nếu Ff =fb, và Fg =bg, trong đó f, g ∈L1, thì Z Rn f(x)bg(x)dVx= Z Rn g(y)fb(y)dVy.
Chứng minh là tương tự như trường hợp một biến.
Định lý 1.22. Nếu f, g∈L1, thì chập của chúng h(x) được xác định như sau h(x) :=
Z
Rn
f(x−y)g(y)dVy (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
tồn tại với hầu mọi x, thuộc L1 và
F[h(x)] =fb(α).bg(α).
Ở đây ta lại chứng minh tương tự như trường hợp một biến, Định lý Fubini trong trường hợp n chiều sẽ được sử dụng.