3 Bài tập áp dụng
3.4Bài tập hình học
Bài toán 3.4.1. Trong mặt phẳng cho n hình tròn trong đó ba hình tròn
Hướng dẫn.
Do hình tròn cũng là hình lồi nên áp dụng bài toán 2.2.4 ta có ngay điều phải chứng minh!
Bài toán 3.4.2. Trong không gian cho n hình lồi mà bốn hình bất kỳ
trong chúng luôn có điểm chung. Chứng minh rằng cả n hình lồi đó có điểm chung.
Hướng dẫn.
Tương tự bài toán 2.2.4
Bài toán 3.4.3. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng. Biết rằng hai
đường thẳng bất kỳ không song song, ba đường thẳng bất kỳ không đồng quy. Hỏi n đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?
Hướng dẫn.
Dùng phương pháp quy nạp theo n, ta có kết quả số miền có được là
F(n) = n
2 +n+ 2 2
Bài toán 3.4.4. Trong không gian cho n mặt cầu, trong đó hai mặt cầu
nào cũng cắt nhau và không có ba mặt cầu nào chung nhau một điểm; n mặt cầu này chia không gian thành các miền rời nhau. Tính số miền thu được.
Hướng dẫn.
Dùng phương pháp quy nạp và áp dụng bài toán 2.2.3 ta có số miền thu được là: F(n) = n
2 −3n+ 8 3
Kết luận
Mục đích chính của luận văn là đưa ra cái nhìn tổng quan về phương pháp quy nạp toán học: Từ nguyên lý và các hình thức của phương pháp đến những bài tập áp dụng trong các phân môn khác nhau của Toán học. Các kết quả chính của luận văn là:
• Hệ thống được các hình thức của phương pháp quy nạp đồng thời thông qua những ví dụ cụ thể làm rõ các thành phần của nguyên lý quy nạp toán học.
• Xây dựng được hệ thống bài tập ứng dụng của phương pháp quy nạp trong các phân môn khác nhau của Toán học: số học, đại số, hình học với mức độ từ đơn giản đến phức tạp
• Đặc biệt, luận văn đã sưu tầm một số các đề thi Olympic toán các quốc gia và quốc tế được giải bằng phương pháp này.
Luận văn là kết quả của quá trình tích luỹ, học hỏi về nội dung phương pháp quy nạp Toán học. Hy vọng rằng trong quá trình nghiên cứu học tập và giải toán, luận văn sẽ đóng góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức của phương pháp quy nạp Toán học.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp quy nạp toán học, NXB Giáo dục.
[2] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,... (2006), Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục.
[3] Đặng Huy Ruận (2002), Bảy phương pháp giải các bài toán Logic, NXB Khoa học và Kỹ thuật.
[4] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho (2002), 40 năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục.
[5] L.I.Golovina, I.M.Yaglom (1987), người dịch: Khống Xuân Hiền,
Phép quy nạp trong hình học, Sở Giáo Dục Nghĩa Bình. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[6] G.Polya (1995), người dịch: Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng,..., Toán học và những suy luận có lí, NXB Giáo dục.