Dễ thấy, ta có thể tìm được số hạng tùy ý của một cấp số công khi biết số hạng đầu VỊ và công, sai đ của nó,
Chẳng hạn,để tìm Mạ ,ta có thể làm như sau : u¿ =ua+d=ua-†2d= u¡+3d
Một cách khái quát ta có.
ĐỊNH LÍ 2
Nếu một cấp số công có số hạng đầu M† và công sai d thì số hạng tổng quát Un của nó được xác. định theo công thức sau ¡ un=u;+(n=])d
Chứng minh
Ta chứng mình bằng phương pháp quy nạp.Công thức đúng khi n=1,vi uị = u¡-†0.d Giả sử công thức đúng khi n=k, (k€ N#) tức là uị =u¡-++(k-)d
Khi đó ta có 0ì „¡ =0) †đ=[ui+(k~1)đ]†d=u¡+kd..
Vậy công thức cũng đúng khi n= kk-1.Từ đó suy ra điều cần chứng minh Cho cấp số cộng (un) có uị —] và công sai q=— —3_ .Hãy tính tạ
Ví dụ 2.
Cho một họ các đường tròn đồng tâm (O;r4),(O;ra công có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 3.
s(Oa s(Oa
mà dãy số (rn) là một cấp số, Gợi MỊ là điện tích hình tròn (Ojr¡) và với mỗi số nguyên n >2 ,gọi tn gọi là diện tích của hình vành khăn tạo bởi đường tròn (Ojr„_† và đường tròn (O;ra)
Chứng minh rằng (uạ) là một cấp số cộng.Hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số
cộng đó gi
Đặt rọ =Ũ ,Khi đó, với mỗi n>1 ,ta có
uà=GẬ~t2—¡)=1(ra-tnSj(EnEE,—¡=8m(tn‡t,—j
Suy ra tạ ¡¡~un =8 1 ETn—Fn—Pạ—| =37(+3) =l8mr (với mọi n>1) Do đó (tu) là một cấp số cộng với công sai d = 18m ,và số hạng đầu uị Trưỷ= 9 Từ đó,theo định lí 2,ta được un = 9-†(n—1).l8m =9(2n-l)m (với mại n>1 ),
1V. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Giả sử có cấp số cộng (un) với công sai d.Xét n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó,ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa chúng như sau.
Quan sắt bảng trên có thể thấy tổng của hai số nằm trong cùng một cột bất kì luôn bằng tổng của
ĐỊNH LÍ 8
Giả sử (un) là một cấp số cộng.Với mỗi số nguyên dương n,gọi Šn là tổng số hạng đầu tiên của nó (Sạn =u¡-†ua+...tun)
(ui+un)n
Khi đồ ta có g_ n
Ví dụ 8:
Môt công tỉ trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công tỉ là 4,5 triệu đông/quý, và kể từ quý làm việc thứ
hai,mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng cho mỗi quý.
Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sự được nhận sau 3 năm làm việc cho công \tiny Giải
Với mỗi số nguyên dương n,kí hiệu tạ (triệu đồng) là mức lương của người kỉ sư ở quý làm việc thứ
n cho công tỉ.Theo giả thiết của bài toán,ta có
=““ÔÔÔôố=ÔôÔÔÔ
Do đó,dấy số (un) là một cấp số cộng với công sai d=
Vì m
năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý
Như thế theo yêu cầu của bài toán ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un)
Theo định lí 2,ta có : uịa =4,Š-†(12-—1).0,3= 78 1245178)
Do đồ,theo định lí 3,ta được 612 —
3,8 (triệu đồng) GHÚ Ý Từ định lí 2 và định lí 3,dễ dàng suy r2 Wn >1 gạ
Cha cấp số cộng (un) có UỊ = —2 và công sai q = 2 .Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của cấp. số đó
“Em sẽ chọn phương án nào?".
Khi kí hợp đồng lao động dài hạn với các kĩ sự được tuyển dụng,công tỉ liên doanh A đề xuất hãi phương án trà lương để người lao đông tự lựa chọn;cụ thổ
~ Ở phương án 1: Người lao động sẽ được nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên,và kể từ năm làm việc thứ hai,mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm
~ Ở phương án 2: NGười ta lao động sẽ được nhận 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên,và kể từ quý làm việc thứ hai,mức lương sẽ được tăng thêm S00 00 đöng mỗi quý
1. Định nghĩa
Xét bài toán ¡ Một ngân hàng quy định như sau đổi với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức có kĩ hạn : "khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút tiền toàn bộ số tiền (bao gôm cả vốn và lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn như kỉ hạn mà người gửi đã gửi"
Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng nói trên và già sử lãi suất của kỉ hạn này là ñ,4%,
3) Hỏi nếu 6 tháng sau,kể từ ngày gửi,người đó mới đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b) Cũng cầu hỏi như trên,với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau,kể từ ngày gửi?
Vấi mỗi số nguyễn dương n„kí hiệu là tạ là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng, kể từ ngày gửi.Khi đó,theo giả thiết của bài toán ta có :
uạ =ua ¡tua j30/004=u, ¡31004 Vn>3.
Như vậy,ta có dãy số (tua) mà kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng
ngay trước nó và 1,004.
Người ta gọi các dấy số có tính chất tương tự như dẫy số (un) nói trên là những cấp số nhắn. ĐỊNH NGHĨA
Gấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số
hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi,nghĩa là (ua) là cấp số nhân ® n2, un=u,_1‹q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Ví dụ 1
a) Dấy số (un) với un = 2” là một cấp số nhân với số hạng đầu tị = 2 và công bội q=2
b) Dấy số 2,6,—18,54,—162 là một cấp số nhân với số hạng đầu tị =—2 và công bội q.
Trong các dãy số sau,däy số nào là cấp số nhân? Vì sao? 3) 4;6;9/13,5 b) —1,5;3;—6;—12; ©) 770/0,0,0,0. ¡—48;96;~192 Ví dụ 2 5
Cho dãy số (un) sắc định bởi vị và tạ =3u_†—Ì với mọi n>2
Chứng mình rằng dãy số (vn) xác định bởi vn uạ-] với mọi n >1 là một cấp số nhần,Hãy cho.
Giải
Từ công thức xác định dấy số (wn) và (un) ,ta có 1
Yạ =ua-Š=8u,—¡—1-Š = 3(u,—¡—Ÿ) =8v,—¡ với mọi n>2
Từ đó suy ra dãy số (n) là một cấp số nhân với số hạng đầu vợ.
bội q =3
TT. Tính chất
Ta có định lí sau ĐỊNH LÍ 1
Nếu (u_N) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai,binh phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kẽ nó trong dẫy,tức là VỆ = BE ỊrĐk+T 2=
Chứng minh
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un)
- Nếu q =Ũ thì hiển nhiên ta có điều cần chứng minh
~ Nếu q0 thì từ định nghĩa cấp số nhân tao có uy =uy ¡‹g (K>2), Đ+i # (>2
Nhân các vẽ tương ứng của hai đẳng thức trên,ta được điều cần chứng minh.
Hỏi có hay không một cấp số nhân (un) mà tạo =~99 và up =1017
Ví dụ 8. Cho cấp số nhân (un) với công bội q>0 .Biết uị =1 và uạ = ,hấy tim U¿
Giải
Theo định lí 1 ta có uậ=uua (@, uŸ=uau+ (®)
Từ (1), do ua>Ô (vị uUị =1>Ũ và q>0 ),suy ra tạ = VĐỊ:Ú3 .Từ đây và (2) ta được
Ộ
VỆ Tạ
14= mg =ý13 = 343 II. Số hạng tổng quát II. Số hạng tổng quát
Tưởng tự như đối với cấp số công,ta có thể tìm được số hạng tùy ý của một cấp số nhân khi biết số hạng đầu và công bội của nó .Cụ thể ,ta có kết quả sau
ĐỊNH LÍ 2
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu U và công bội qzẺ0 thì số hạng tổng quát tạ, của nó được
xác định bởi công thức un =u¡.q—1
Ví dụ 4.Trờ lại bài toán đặt ra ở phần đầu mục 1,
Theo yêu cầu của bài toán ta cần tính We và MỊa,Dø (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu
uị =107--107.0,004 =107.1,004 và công bội q=1,004 nên theo định lí 2 ta có
uạ=107.1,004.(1,004)"—Ì=107(1004)Ẻ Vn>l
Dân số của thành phố A hiện nay là 3 triệu người.Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là 2%.Hỏi dân số của thành phố A sau 2 năm nữa là ban nhiêu?
1V. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Tương tự như đối với cấp số công,người ta cững quan tâm tới việc xác định tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân theo số hạng đầu và công bội của nó.
Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n,ggi Šn là tổng số hạn đầu.
tiên của nó (Sạ = 0 -TuaF..-Fun)
Nếu q =1 thì In M1 với mọi n >1. .Do đó, trong trường hợp này ta có Sn = nu.
Khi q#i ta có kết quả sau
ĐỊNH LÍ 3
Nẽu (un) là một cấp số nhân với công bội qzế1 thì Sạ được tính thao công thức g_. Sống )
4
Chứng minh
Ta có.
8n =qu+quạ+...†qu, —¡†quạ =ua-†0a+...tUn EU, +¡
Do đó Sn~qS5n =0¡-tuạ ¡¡ =u¡~u1g"= u¡(1=q"), hay (1=q)5a =u¡(=q") Từ đó,do q#i , suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 5. Cho cấp số nhân (un) có uạ = 24 và u¿ = 48. ,Hãy tính tổng năm số hạng đầu tiên của
cấp số đó. Giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân (un) ,ta có q =7 =2 Do đó,theo định lí 2,ta được : 24 =ua =u.22
Suy ra UỊ =Ö ,Vì thế,theo định lí 3,ta được Sự
Đỗ vúi, "Một hào đổi lấy năm xu?”
Tưởng truyền một ngày nọ,có một ngà toán học đến gặp một nhà tỉ phú và đề nghị được "bán" tiền cho ông ta theo thể thức sau : Liên tục trong 30 ngày,mỗi ngày nhà toán học "bán" cho nhà tì phú 10 triệu đông với giá 1 đông ở ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ 2,mỗi ngày tỉ phú phải "mua" với giá gấp đôi của ngày hôm trước Không một chút đắn đo,nhà tỉ phú đông ý ngay tức thị,lòng thầm cảm ơn nhà toán học lại cho ông ta một cơ hội hốt tiền "nằm mơ cũng không thấy"