12 c1 a c 1: 2a c2 :3 a3 c1 bc 1: 2b c2 :3 b3 uu u 1: 2:
2.2.1. Bài toán cực trị hình học gốc
Bài toán 2.2.1.1: Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O bán kính a và một
điểm P cốđịnh nằm trong đường tròn (OP d= <a). Trong các tứ giác lồi ABCD
nội tiếp đường tròn nói trên sao cho các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại P, hãy xác định tứ giác có chu vi lớn nhất và tứ giác có chu vi nhỏ
nhất. Tính các chu vi đó theo a và d.
(Bài toán này chính là một bài toán hình học phẳng trong kỳ thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (Bảng A) tháng 3 năm 1997).
Bài toán này có nhiều cách giải: • Lời giải 1(Lời giải hình học)
a) Ký hiệu p=AB BC CD DA+ + + là chu vi của tứ giác ABCD, ta tính
( ) ( ) 2
2
p = AB CD+ + BC DA+ . Ta được:
2 ( 2 2) ( 2 2) 2( . . ) 2( . . . . )
p = AB +CD + BC +DA + AB CD BC DA+ + AB AD CB CD BA BC DC DA+ + +Vì ABCD nội tiếp đường tròn ( , )O a nên ta có (Hình 1): Vì ABCD nội tiếp đường tròn ( , )O a nên ta có (Hình 1):
26 Hình 1 Hình 1 2 2 2 . . / ( , ) AP PC=BP PD= −ΡP O a =a −d =b (2.28) . . . AB CD BC DA AB BD+ = (Định lý Ptolómé) (2.29)
Lại vì AC⊥BD P= nên ta dễ dàng thiết lập được các hệ thức sau
2 2 2 2 4 2 AB +CD =BC +DA = a (2.30) . . . . 2 AB AD CB CD BA BC DA DC a AP = PC = BP = PD = (2.31) 2 2 4(2 2 2) 4( 2 2) AC +BD = a −d = a +b (2.32) Đến đây từ (2.28), (2.29), (2.30), (2.31), (2.32) và 2 2 2
2AC BD. =(AC BD+ ) −(AC +BD ) ta thu được biểu thức thu gọn của
2 ( )2 4 ( ) 4( 2 2)
p = AC BD+ + a AC BD+ + a −b (2.33)
b) Biểu thức (2.33) của p2 cho ta biết: p2 và do đó, p đạt giá trị lớn nhất pM
hay giá trị nhỏ nhất pm khi và chỉ khi tổng AC BD+ độ dài hai đường chéo của tứ giác ABCD, tương ứng đạt giá trị max hay min
Bây giờ từ hệ thức (2.32) và hệ thức sau liên quan đến AC và BD:
2 2 2 2
(AC BD+ ) +(AC BD− ) =2(AC +BD ) (2.34) ta suy ra AC BD+ đạt giá trị max (min) khi và chỉ khi AC BD− đạt min (max) Từ (2.34) suy ra: max(AC BD+ )2=8(a2+b2)⇔ AC =BD
Bởi vậy, ta được: AC BD+ đạt giá trị:
max=2 2(a2+b2)⇔ AC=BD= 2(a2+b2) (2.35) Cuối cùng thế giá trị (2.35) vào (2.33) ta thu được kết quả cần tìm của pM là:
2 2 2( 2 ) M p = a + a +b , (b2=a2−d2) (2.36) ⇔ AC=BD= 2(a2+b2) A B C D • O P a
27
Vì AC và BD là hai dây cung của đường tròn ( , )O a nên chúng bằng nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình thang cân ở vị trí A B C D1 1 1 1 (Hình 2) nhận OP
làm trục đối xứng và cũng là trung trực chung của hai đáy B C1 1 và A D1 1.
Hình 2
Cũng từ (2.34) suy ra: min(AC BD+ )2 =8(a2+b2) 4(− a b− )2 =4(a b+ )2
⇔max AC BD− =2(a b− )
đạt được khi và chỉ khi một trong hai đường chéo (BD hoặc AC) là đường kính đi qua P của (O a, ), còn đường chéo kia (BD hoặc AC) là dây cung ngắn nhất đi qua P. Ta đi đến kết luận p đại nhỏ nhất pm:
pm =4 a a b( + ), (2.37) khi và chỉ khi ABCD ở vị trí của tứ giác A B C D2 2 2 2 nhận đường chéo lớn làm trục đối xứng, trùng với đường kính đi qua P của ( , )O a .
•Lời giải 2 (Lời giải lượng giác)
Ký hiệu độ lớn các góc ở tâm AOB, BOC, COD và DOA lần lượt là 2x, 2y, 2z
và 2t. Khi đó ACB ADB x BAC BDC= = , = = y CAD CBD z DBA DCA t, = = , = = , đồng thời thỏa mãn điều kiện sau:
0 , , , 2 2 x y z t π < < (2.38) 2 x z+ =y t+ =π (2.39) Ngoài ra theo định lý hàm sin ta có:
1A A 1 B 1 C 1 D • O P a
28
2
sin sin sin sin
AB BC CD DA
a
x= y= z= t = (2.40)
Từ biểu thức (2.39) và (2.40) ta thu được biểu thức sau về chu vi p của tứ giác ABCD
p=2 (sina x+cosx+siny+cos )y (2.41) Đến đây bài toán quy về tìm cực đại fM và cực tiểu fm của biểu thức Đến đây bài toán quy về tìm cực đại fM và cực tiểu fm của biểu thức lượng giác sau đây:
f x y( , )= f y x( , ) sin= x+cosx+siny+cosy (2.42) trong đó hàm lượng giác f x y( , ) được xác định trong miền mở (0, )
2
π của hai biến x y, không độc lập mà theo hệ thức (2.28) được chỉ ra trong lời giải 1 ở trên thì x y, ràng buộc nhau bởi điều kiện (đẳng thức):
sin 2 .sin 2x y b22 a
= (2.43) •Lời giải 3(Lời giải đại số)
Đặt b= a2−d2;PA x PC= ; =x PB'; =y PD; = y'. Ta thu được biểu thức sau đây của chu vi pcủa tứ giác ABCD:
( , ', , ') 2 2 2 '2 '2 '2 '2 2
p= p x x y y = x +y + y +x + x +y + y +x (2.44)
Ngoài ra, dễ dàng chỉ ra được các biến số x x y y, ', , ' ràng buộc với nhau bởi các điều kiện (bao gồm các bất đẳng thức và đẳng thức) sau đây