Trong phần này chúng ta xây dựng lược đồ ngưỡng (k, n). Cái mà chúng ta chỉ ra cách từ lược đồ ngưỡng (k, k) đến lược đồ ngưỡng (k, n).
Đặt C là lược đồ ngưỡng (k, k) chia sẻ bí mật trực quan với các tham số m,r,α.
Lược đồ C gồm 2 tập hợp của các ma trận Boolean k×m 1 1 1
1 1, 2,..., r
C =T T T và
1 1 1
1 1, 2,..., r
C =T T T . Hơn nữa, giả thiết rằng lược đồ là không đổi, nghĩa là, có một hàm số ( )
f q mà với bất cứ ma trận t i
T nào khi t∈{0,1}và 1≤ ≤i r và với bất kì 1≤ ≤ −q k 1 các
hàng của trọng lượng Hamming t
i
T của phép “or” của q hàng là f q( ). Chú ý rằng tất cả các phép dựng hình trước đây của chúng ta đều có tính chất này.
1. ∀ ∈h H chúng ta có h:{1.. }n →{1.. }k
2. Với tất cả các tập con B⊂{1.. }n có kích thước k và với tất cả 1≤ ≤q kxác xuất lựa chọn ngẫu nhiên h∈H cho các giá trị q khác nhau trên tập B là giống nhau. Ký hiệu xác xuất này là βq.
Chúng ta dựng hình từ C và H một sơ đồ k của n phần tử C' như sau:
Tập hợp cơ sở là V = ×U H(tức là, kích thước là m−l và chúng ta xem xét các nguyên tố đã được lập chỉ số bằng một phần tử của U và một phần tử của H)
Với mỗi1≤ ≤ti rl được lập chỉ số bởi một véc tơ ( , ,... )t t1 2 tl khi 1≤ ≤ti r.
Ma trận b
t
S với t=( , ,... )t t1 2 tl khi b∈{0,1} được định nghĩa giống như
[ , ( , )] [ ( ), ]
h
b b
t t
S i j h =T h i j
Chú ý rằng trong cách diễn giải bên trên th nghĩa là mục thứ h trong t, khi mà h giải thích một cách đơn giản giống như một số nằm trong khoảng 1 và l.
Bổ đề 3: nếu C là một lược đồ với các tham số m,α,r thì C’ là một lược đồ với các tham số m'=m.l,α α β'= . k, r'=rl
.
Chứng minh: Để chỉ ra sự đối chiếu, chú ý rằng với bất kỳ k hàng trong một ma trận b
t
S và bất kì h∈H, nếu tập hợp con tương ứng đối với k hàng được ánh xạ tới q<k
giá trị khác nhau bởi h, sau đó chúng ta biết giả thiết về tính đồng bộ rằng trọng lượng phép “or” của q hàng trong C là f(q). Khoảng cách giữa điểm ảnh đen và điểm ảnh trắng chỉ xuất hiện khi h là 1-1 cái mà xuất hiện ở βk của h∈H và đó là α−m trong trường hợp này. Chính vì thế trọng lượng Hamming của phép “or” của k hàng của một điểm ảnh trắng là gần bằng 1 1 ( .( ) . ( )) k k q q d m f q β α − β = − +∑ l
Và trọng lượng của một điểm ảnh đen là
1 1 ( . . ( )) k k q q d f q β − β = +∑ l
Để thấy được tính bảo mật của lược đồ, chú ý rằng chúng ta cần nhắc lại l lần lược đồ C nơi mỗi giải pháp không lệ thuộc vào các giải pháp khác. Chính vì thế, từ bảo mật C chúng ta có bảo mật của S.
2.3.5.1. Phép dựng của H
Người ta có thể dựng H từ tập hợp của k-wise hàm băm độc lập. Giả thiết rằng
H là giá trị mà với bất kì k giá trị x x1, 2,...xk∈{1,.. }n quy định ngẫu nhiên k giá trị bởi
1 ( )1
X =h x ,X2 =h x( 2),…,Xk =h x( k)với việc chọn ngẫu nhiên h∈H là hoàn toàn độc lập. Vì chúng độc lập, xác xuất mà chúng cho ra các giá trị q khác nhau là như nhau, bất kì giá trị nào của x x1, 2,...xk. Đối với một ví dụ cụ thể, giả sử rằng k là chính (nếu không thì chúng ta phải giải quyết với các nhân tố khác), và gọi l là giá trị mà kl ≥n. Họ H dựa trên tập hợp đa thức của mức độ k-1 trên GF[ l
k ], khi bất kì h∈Hcó một đa thức q(x) tương ứng, và h(x)=q(x)modk. Kích thước của H là khoảng nk. Xác xuất βk mà một H ngẫu nhiên bằng 1-1 trong tập hợp của k nguyên tố là
k k k ! ( / ) 2 2 k k k e e k k πk πk − ≥ = Vì thế chúng ta có thể kết luận rằng bằng cách áp dụng bổ đề 5.1 :
Bổ đề 4: Với bất kì n và k tồn tại một sơ đồ chia sẻ mật mã có thể thấy được với các tham số k k 1
m=n .2 − ,α =(2 )e −k / 2πk và 1
(2 !)
k k
r=n − .
2.3.5.2. Làm giảm bớt điều kiện đối với H
Giả sử rằng bây giờ chúng ta làm nới lỏng điều kiện 2 trong việc định nghĩa H
như sau:
Tồn tại một ε mà với tất cả các tập con B⊂{1.. }n với kích thước k và với tất cả các giá trị 1≤ ≤q k xác xuất ngẫu nhiên chọn h∈Hcho ra các giá trị q khác nhau đối với B là như nhau trong khoảng ε . Chúng ta sẽ xem, cách này cho giá trị H’ nhỏ hơn rất nhiều.
Lấy ε nhỏ, nhỏ hơn αβk/ 4, không thể tạo nên sự khác biệt lớn về chất lượng của phép dựng hình. Trọng lượng Hamming một phép “or” của k hàng của một điểm ảnh màu trắng là gần bằng
1 1 (( ).( ) ( ). ( )) k k k q d m f q β ε α − β ε = + − +∑ + l
Và trọng lượng của một điểm ảnh màu đen ít nhất bằng
1 1 ((1 ) . (1 ). . ( )) k k k q d f q ε β − ε β = − +∑ − l
Khoảng cách tương đối giữa điểm ảnh đen và trắng ít nhất bằng β αk. −2ε. Chú ý rằng tính bảo mật của sơ đồ không bị ảnh hưởng, vì ít hơn k phần không bao giờ ánh xạ tới k giá trị khác nhau.
Phép dựng H đã giảm điều kiện
Chúng ta sử dụng các khoảng cách xác xuất chênh lệch nhỏ để dựng một họ như vậy. Một khoảng cách xác xuất với các biến số ngẫu nhiên có độ chênh lệch là ε là gần bằng với khoảng cách xác xuất với các biến số ngẫu nhiên hoàn toàn độc lập. Trong độ lệch đó, (nghĩa là, khoảng cách giữa các xác xuất có tính chẵn lẻ bằng 0 và 1) được giới hạn bởi ε (đối lập với 0 đối với sự độc lập hoàn toàn). Tương tự, một khoảng cách xác xuất cái mà có độ lệch ε k-wise là gần bằng với những khoảng cách xác xuất độc lập thông minh k.
Giả thiết rằng k là luỹ thừa của 2. Đặt R là khoảng cách xác xuất có độ lệch δ
klogk-wise đối với các biến số ngẫu nhiên nlogk cái mà có giá trị trong khoảng {0,1}. Chúng được lập chỉ số giống như Yij với 1≤i≤n và 1≤j≤logk. Có các phép dựng hình rõ ràng của khoảng cách xác xuất như thế với kích thước ( log )
2O k k logn.
Mỗi hàm số h tương ứng với một điểm trên khoảng cách xác xuất. h(x) là giá trị của x x1, 2,...xk∈{1,.. }n và đối với tất cả k
1, 2,... k {0,..2 1} y y y ∈ − ta có 1 1 2 2 1 1 . k Pr [ ( ) , ( ) ,... ( k) k) . k k k ob h x y h x y h x y k k k −δ ≤ = = = ≤k +δ
Hình 6. Sơ đồ 3: Biểu diễn sự xếp chồng
Vì thế lấy 12k
4k
δ = cho thấy -2k
2
ε ≤ và chúng ta có sơ đồ mà số lượng điểm ảnh con tăng lên theo loga với số phần n.
Bổ đề 5: Đối với bất kì n và k tồn tại lược đồ chia sẻ bí mật trực quan với các tham số ( log ) ( )
2O k k log , 2 k
m= nα = −Ω .
Chúng ta không biết liệu giới hạn đối với m trên định lí trên đã chặt chẽ hay
chưa, nhưng chúng ta phỏng đoán rằng ( )
log 2O k
m= n là câu trả lời đúng.