ngẫu nhiên ổn định
Hàm mật độ của phân phối ổn định chỉ có dạng hiển trong một vài trường hợp đặc biệt. Các phân phối Gauss, Cauchy, Lévy là trường hợp thực sự đặc biệt của phân phối ổn định, mà hàm mật độ của chúng có dạng hiển và khá đơn giản.
1.7.1 Các phân phối ổn định đặc biệt 1. Phân phối Gauss
Khiα=2, phân phối ổn định trùng với phân phối chuẩn với trung bìnhδ và phương saiγ2. Tham số độ lệch β không suất hiện trong trường hợp này.
Chứng minh. Bởi vìtanπ =0, hàm đặc trưng (1.11) được viết lại
φ(t) =exp
iδt−γ2t2 .
Đây chính là hàm đặc trưng của phân phối chuẩn với trung bình δ và phương sai
γ2.
2. Phân phối Cauchy Khi α =1 và β =0, phân phối ổn định trùng với phân phối Cauchy với định vịδ và tham số tỷ lệγ.
Chứng minh. Nhắc lại hàm mật độ xác suất của phân phối Cauchy với tham số vị tríδ và tỷ lệγ là
f(x;δ,γ) = 1
πγn1+
Do đó hàm đặc trưng được viết làφ(t) =eiδt−γ|t|. Thayα =1vàβ =0vào (1.11), số hạng thứ hai trong dấu ngoặc biến mất và ta thu được biểu thức đúng bằng hàm đặc trưng trên đây.
3. Phân phối Lévy Khi α = 12 và β =±1, phân phối ổn định trùng với phân
phối Lévy với tham số vị tríδ và tỷ lệγ.
Chứng minh. Trong (1.11) đặt α = 12 vàβ =1 ta thu được
φ(t) =expn
iδt−pγ|t|[1−isgn(t)]o
; Đây là hàm đặc trưng tương ứng với phân phối Lévy với mật độ
f(x;δ,γ) = s γ/2π (x−δ)3e −2(xγ−δ) , ∀x>δ.
Trường hợpβ =−1được chứng minh tương tự.