Dãy lồi logarit

Định nghĩa 2.3. Dãy dương {aj} được gọi là lồi logarit nếu như aj ≤√aj−1aj+1.

Định nghĩa 2.4. Dãy dương {aj} được gọi là lõm logarit nếu như aj ≥√aj−1aj+1.

Nhận xét 2.1. Nếu {aj}n

j=1 lồi (lõm) logarit thì {lnaj}n

j=1 là lồi (lõm).

Mệnh đề 2.1. Nếu {xj} và {yj} là hai dãy lồi logarit thì {xj+yj} cũng là dãy lồi logarit.

Chứng minh. Kỹ thuật chứng minh dựa vào đánh giá sau

(xn−1+yn−1)(xn+1+yn+1)≥(√

xn−1xn+1+√

yn−1yn+1)2≥(xn+yn)2. Định lý được chứng minh.

Định lý 2.7 (Định lý Davenport-Pólya). Nếu {xj}và {yj} là hai dãy lồi logarit thì tích chập nhị thức zn := n X k=0 Cnkxkyn−k

cũng là dãy lồi logarit.

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

zj ≤√zj−1zj+1. (2.11) Với j = 0, ta có z0z2 = (x0y0)(x0y2+ 2x1y1+x2y0)≥(x0y1+x1y0)2 =z12. Chú ý rằng zn = n−1 X k=0 Cn−k 1xkyn−k+ n−1 X k=0 Cn−k 1xk+1yn−k−1.

Đây là tổng của: tích chập nhị thức của các dãy {xj}n−j=01, {yj}n

j=1 và tích chập của các dãy {xj}nj=1, {yj}n−j=01. Từ đây suy ra được điều phải chứng minh.

Hệ quả 2.3. Phép biến đổi nhị thức zn := Pn

k=0Cnkxk bảo toàn tính chất lồi logarit.

Định nghĩa 2.5. Số cách phân hoạch tập hợp nphần tử thành k tập con không rỗng gọi là số Stirling loại II, ký hiệu S(n, k). Nói cách khác, số Stirling loại II là số cách phân phối n quả bóng phân biệt vào k hộp giống nhau mà không có

hộp nào rỗng.

Số Stirling loại II được tính theo công thức:

S(n, k) = 1 k! k X i=0 (−1)k−iCkiin Mệnh đề 2.2. Phép biến đổi Stirling loại II

zn :=

n X

k=0

S(n, k)xk bảo toàn tính chất lồi logarit.

Chứng minh. Giả sử {xj} là dãy lồi, ta cần chứng minh băng quy nạp rằng zj ≤√zj−1zj+1. (2.12) Thật vậy (2.12) đúng với j = 1. Giả sử rằng z0, z1, ..., zn−1 lồi logarit. Chú ý rằng

S(n, k) = n X j=k Cn−j−11S(j−1, k−1). Từ đó zn = n X k=1 n X j=k Cn−j−11xk = n−1 X j=0 Cn−j 1 j X k=0 S(j, k)xk+1 ! .

Đặt yk := Pjk=0S(j, k)xk+1 với j = 0, ..., n−1. Do đó y0, y1, ..., yn−1 lồi logarit. Nghĩa là z0, z1, ..., zn−1, zn lồi logarit. Định lý được chứng minh.

Ký hiệu c(n, k) là số Stirling loại I, khi đó ta có tính chất sau Mệnh đề 2.3. Phép biến đổi Stirling loại I

zn :=

n X

k=0

c(n, k)xk bảo toàn tính chất lồi logarit.

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG