Do CE làtiếp tuyến của (O) nên:

Một phần của tài liệu Tuyển tập Chuyên đề BD Học sinh giỏi (Trang 55 - 60)

I -các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

a, Do CE làtiếp tuyến của (O) nên:

= (Cùng chắn )  ∆CEM ~ ∆CNE .  =

OO' O' A B C C' B'

Mặt Khác , do CE; CF là các tiếp tuyến của (O) nên

AB⊥ EF tại I vì vậy trong tam giác vuông CEO đờng cao EI ta có: CE2 = CI.CO

Từ (1) và (2) suy ra CM.CN = CI.CO => =  ∆CMI ~ ∆CON

 =

 Tứ giác OIMN nội tiếp  b Kéo dài NI cắt đờng tròn tại M’. Do tứ giác IONM nội tiếp nên : = = sđ

=> = . Do đó: = = 

Ví Dụ 2

Cho tam giác ABC có = 450 ; BC =a nội tiếp trong đờng tròn tâm O; các đờng cao BB’ và CC’. Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua đờng thẳng B’C’.

a. Chứng minh rằng A; B’; C’; O’ cùng thuộc một đờng tròn b. Tính B’C’ theo a.

Lời giải

a. Do O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên = 2 =900

Từ đó suy ra các điểm O; B’; C’

Cùng thuộc đờng tròn đờng kính BC.Xét tứ giác nội tiếp CC’OB’ có :

= 1800 -

= 1800 - ( 900 - ) =1350.

Mà O’ đối xứng với O qua B’C’ nên: = = 1350 =1800 -

Hay tứ giác AC’O’B’ nội tiếp.

b. Do = 450 nên ∆BB’A vuông cân tại B’

Vì vậy B’ nằm trên đờng trung trực của đoạn AB hay B’O ⊥ AB  C’OB’C là hình thang cân nên B’C’ =OC

Mặt khác ∆BOC vuông cân nên: B’C’ =OC =

22 2 2 2 a BC = III bài tập áp dụng Bài tập 1:

Cho tứ giỏc ABCD nội tiế đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuụng gúc với AD. Chứng minh:

a/ Tứ giỏc EBEF, tứ giỏc DCEF nội tiếp. b/ CA là phõn giỏc của BCFã

c/ Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giỏc BCMF nội tiếp.

Bài tập 2:

Tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC, BD cắt nhau tại E. Hỡnh chiếu vuụng gúc của E trờn AD là F. Đường thẳng CF cắt đường trũn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm của BD và CF là N. Chứng minh:

a/ CEFD là tứ giỏc nội tiếp

b/ Tia FA là phõn giỏc của gúc BFM c/ BE.DN = EN.BD.

Bài tập 3:

Cho tam giỏc ABC vuụng ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường trũn đường kớnh BD cắt BC tại E. Cỏc đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường trũn tại cỏc điểm thứ hai F, G. Chứng minh:

a/ Tam giỏc ABC đồng dạng với tam giỏc EBD

b/ Tứ giỏc ADEC và AFBC nội tiếp được một đường trũn c/ AC song song với FG

d/ Cỏc đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.

Bài tập 4:

Cho tam giỏc ABC cú Aˆ 90= 0; AB > AC, và một điểm M nằm trờn đoạn AC ( M khụng trựng với A và C ). Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đường trũn đường kớnh MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường trũn đường kớnh MC; T là giao điểm của MN và AB. Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, M, N, B cựng thuộc một đường trũn b/ CM là phõn giỏc của gúc BCS.

c/

TA TC TD = TB

Bài tập 5:

Cho đường trũn (O) và điểm A nằm ngoài đường trũn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN với đường trũn ( M, N là cỏc tiếp điểm ) và một cact tuyến bất kỳ cắt đường trũn tại P, Q. Gọi L là trung điểm của PQ.

a/ Chứng minh 5 điểm: O, L, M, A, N cựng thuộc một đường trũn b/ Chứng minh LA là phõn giỏc của gúc MLN

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. Chứng minh: MA2= AI. AL d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). Chứng minh rằng: KN // AQ e/ Chứng minh tam giỏc KLN cõn.

Bài tập 6:

Cho đường trũn (O;R) tiếp xỳc với đường thẳng d tại A. Trờn d lấy điểm H khụng trựng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H )

a/ Chứng minh: gúc ABE bằng gúc EAH và tam giỏc AHB đồng dạng với tam giỏc EAH.

b/ Lấy điểm C trờn d sao cho H lỏ trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh: AHEK là tứ giỏc nội tiếp

c/ Xỏc định vị trớ của điểm H để AB = R 3

Bài tập 7:

Từ điểm P nằm ngoài đường trũn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường trũn (O) ( M, N là tiếp điểm ). Đường thẳng đi qua điểm P cắt đường trũn (O) tại hai điểm E và F. Đường thẳng qua O song song với MP cắt PN tại Q. Gọi H là trung điểm của đoạn EF. Chứng minh:

a/ Tứ giỏc PMON nội tiếp đường trũn

b/ Cỏc điểm P, N, O, H cựng nằm trờn một đường trũn c/ Tam giỏc PQO cõn

d/ MP2= PE. PF e/ =

Bài tập 8:

Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn nội tiếp đường trũn (O). Cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường trũn (O) lần lượt tại M, N, P.

Chứng minh rằng:

a/ Cỏc tứ giỏc AEHF, BFHD nội tiếp.

b/ Bốn điểm B, C, E, F cựng nằm trờn một đường trũn. c/ AE. AC = AH. AD và AD. BC = BE. AC

d/ H và M đối xứng nhau qua BC

e/ Xỏc định tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc DEF.

Cho tam giỏc ABC khụng cõn, đường cao AH, nội tiếp trong đường trũn tõm O. Gọi E, F thứ tự là hỡnh chiếu của B, C lờn đường kớnh AD của đường trũn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:

a/ Bốn điểm A, B, H, E cựng nằm trờn một đường trũn tõm N và HE // CD. b/ M là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HEF.

Bài tập 10:

Cho đường trũn (O) và điểm A ở bờn ngoài đường trũn. Vẽ cỏc tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE với đường trũn ( B và C là cỏc tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của DE.

a/ CMR: A, B,H, O, C cựng thuộc một đường trũn. Xỏc định tõm của đường trũn này.

b/ Chứng minh: HA là tia phõn giỏc .

c/ Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh: AB2= AI.AH d/ BH cắt (O) tại K. Chứng minh: AE // CK.

Bài tập 11:

Từ một điểm S ở ngoài đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cỏt tuyến SCD của đường trũn đú.

a/ Gọi E là trung điểm của dõy CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cựng thuộc một đường trũn.

b/ Nếu SA = AO thỡ SAOB là hỡnh gỡ? Tại sao?.

c/ CMR: AC.BD = BC.DA = . 2

AB CD

Bài tập 12:

Trờn đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C theo thứ tự đú. Trờn nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cựng vuụng gúc với d. Trờn tia Ax lấy I. Tia vuụng gúc với CI tại C cắt By tại K. Đường trũn đường kớnh IC cắt IK tại P.

a/ Chứng minh tứ giỏc CBPK nội tiếp được đường trũn b/ Chứng minh: AI. BK = AC. CB

c/ Giả sử A, B, I cố định hóy xỏc định vị trớ điểm C sao cho diện tớch hỡnh thang vuụng ABKI lớn nhất.

Bài tập 13:

Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O). M là điểm di động trờn cung nhỏ BC. Trờn đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.

a/ Chứng minh: VDMC đều b/ Chứng minh: MB + MC = MA

c/ Chứng minh tứ giỏc ADOC nội tiếp được.

d/ Khi M di động trờn cung nhỏ BC thỡ D di động trờn đường cố định nào?.

Bài tập 14:

Cho đường trũn (O;R), từ một điểm A trờn O kẻ tiếp tuyến d với O. Trờn đường thẳng d lấy điểm M bất kỳ ( M khỏc A ) kẻ cỏt tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB ( B là tiếp điểm ). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a/ Chứng minh tứ giỏc AMBO nội tiếp

b/ Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cựng nằm trờn một đường trũn. c/ Chứng minh OI. OM = R2; OI. IM = IA2

d/ Chứng minh OAHB là hỡnh thoi

e/ chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng

f/ Tỡm quỹ tớch của điểm H khi M di chuyển trờn đường thẳng d.

Bài tập 15:

Cho hỡnh thang cõn ABCD ( AB > CD; AB // CD ) nội tiếp trong đường trũn (O). Tiếp tuyến với đường trũn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm của hai đường chộo AC và BD.

a/ Chứng minh tứ giỏc AEDI nội tiếp. b/ Chứng minh AB // EI

c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bờn AD và BC của hỡnh thang tương ứng ở R và S. Chứng minh: * I là trung điểm của RS

*

1 1 2

Một phần của tài liệu Tuyển tập Chuyên đề BD Học sinh giỏi (Trang 55 - 60)

Tải bản đầy đủ (DOC)

(80 trang)
w