Nửa môđun xạ ảnh

7. Bố cục của khóa luận

2.6. Nửa môđun xạ ảnh

Định nghĩa 2.6.1.

Một R – nửa môđun P được gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

i) Nếu ϕ :M →N là các R – đồng cấu toàn ánh của các R – nửa

môđun và α :P →N là một R – đồng cấu thì tồn tại một R – đồng cấu

β :P →M thỏa mãn βϕ =α.

ii) ϕ :M →N là một R – đồng cấu ổn định của các R – nửa môđun và α α, ' :P →M là các R – đồng cấu thỏa mãn ϕα =ϕα' thì tồn

tại các R – đồng cấu β β, ' :P →M thỏa mãn βϕ = β ϕ' và

ϕ +β =α'+β'.

Chú ý 2.6.2.

i) Chú ý rằng các ánh xạ trong định nghĩa 2.6.1 được xem là ký hiệu bên trái, chẳng hạn ϕ :M →N là một ánh xạ và x ∈M thì xα =α( )x . Như vậy, nếu β :P →N là một ánh xạ khác thì βϕ :P →N cho bởi

( ) ( )

βϕ = β ϕ =ϕ β ,∀ ∈

y y y y P.

ii) Điều kiện i) của định nghĩa 2.6.1 nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:

P ∃β α M (xβα, )x ∈α* N Định lý 2.6.3. Mỗi R – nửa môđun tự do là xạảnh . Chứng minh.

Giả sử F là một R – nửa môđun tự do với cơ sở là B. Giả sử

ϕ :M →N là một R – đồng cấu toàn ánh của các R – nửa môđun và

α :F →N là một R – đồng cấu.

Vì ϕ toàn ánh nên với mỗi phần tử b ∈B chọn được (và cố định) một phần tử xb ∈Msao cho xbϕ =bα .

Theo mệnh đề 2.5.9, tồn tại một R – đồng cấu duy nhất β :P → M

thỏa mãn bβ = xb.

Thế thì bβϕ =xbϕ =bα,∀ ∈b B và do tính duy nhất trong mệnh đề 2.5.9, ta có α = βϕ.

Giả sử ϕ :M →N là một R – đồng cấu ổn định của các R – nửa môđun.

Và giả sử α α, ' :P →M và các R – nửa môđun đồng cấu thỏa mãn ϕ = 'ϕ

a a .

Nếu a∈A thì aαϕ =aα ϕ' và do tính ổn định của ϕ, tồn tại các phần tử xa và ya ∈Ker( )ϕ sao cho aα +xa =aα '+ya.

Theo Mệnh đề 2.5.9, tồn tại các R – đồng cấu duy nhất

β β, ' :P →M thỏa mãn aβ = xa và aβ' =ya, với mọi a∈A. Thế thì βϕ = aϕ =0

a x và aβ ϕ' =yaϕ = 0 nên n n, '∈N n, ≠n'. Từ tính duy nhất trong mệnh đề 2.5.9 suy ra α +β =α'+β'. Vậy P là R – nửa môđun xạ ảnh. □

2.7. Nửa môđun nội xạ Định nghĩa 2.7.1.

Giả sử R là một nửa vành và E là một R – nửa môđun M . Khi đó

E được gọi là nội xạ nếu và chỉ nếu điều kiện sau được thỏa mãn: Cho trước

một R – nửa môđun và một nửa môđun con N của nó. Khi đó một

R – đồng cấu tùy ý từ N đến E mở rộng được thành một R – đồng cấu từ

M đến E.

Chú ý 2.7.2.

Chúng ta biết rằng nếu R là một vành thì một R – môđun tùy ý được chứa trong một R – môđun nội xạ. Tuy nhiên, đối với nửa vành tùy ý khẳng định trên có thể không đúng trong một số trường hợp. Kết quả sau phản ánh một phần nhận xét đó. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm liên quan.

Định nghĩa 2.7.3.

i) R được gọi là bất khả đối nếu và chỉ nếu r +r'= 0,( , 'r r ∈R) kéo theo r =r' =0.

ii) R được gọi là nửa vành nguyên nếu và chỉ nếu R không chứa ước của 0, nghĩa là nếu a ≠ 0 , b ≠ 0 thì ab ≠0.

iii) R được gọi là giản ước được nếu và chỉ nếu

( )

+ = + , , ∈

a b a c a b c R kéo theo b =c.

Chú ý 2.7.4.

Giả sử R là một nửa vành và M là một R – nửa môđun thì

( )

{ }

= , ∈

W x x x M là một nửa môđun con của R – nửa môđun. Khi đó x / W

M M là một R – nửa môđun mà thực tế là một R – môđun.

R – môđun này được ký hiệu là M△.

Mệnh đề 2.7.5.

Giả sử R là một nửa vành nguyên, bất khảđối, giản ước được và E là một R – nửa môđun nội xạ. Thế thì E ={ }0 .

Chứng minh.

Giả sử E là một R – nửa môđun nội xạ và với e ∈E, giả sử

αe :R → E là một R – đồng cấu được xác định bởi r →re. Vì E nội xạ nên tồn tại một R – đồng cấu β ∆

→ :

e R E là mở rộng của αe.

Thế thì e + −( )1 βe =1βe + −( )1 βe = 0βe =0 và do đó e có nghịch đảo cộng tính trong R. Như vậy E là một R – môđun.

Bây giờ giả sử E'= E{ }∞ . Thế thì ánh xạ đồng nhất mở rộng được thành một R – đồng cấu β :E' →E.

Đặt u = ∞β, đối với mỗi e ∈E có:

( )

β β β

+ = + ∞ = + ∞ = = 0+

Vì E giản ước được nên e =0. Do đó E ={ }0 . □

Hệ quả 2.7.6.

Nếu E là một N – nửa môđun nội xạ thì E ={ }0 .

Chứng minh.

Vì N là nửa vành nguyên, bất khả đối và giản ước được. □

Mệnh đề 2.7.7. Giả sử R là một nửa vành và E là một R – nửa môđun nội xạ. Khi đó: i) A E là một R – nửa môđun nội xạđối với mọi tập hợp khác rỗng A. ii) Hạng tử trực tiếp tùy ý của A là nội xạ. Chứng minh. i) Ta có A E là một R – nửa môđun.

Nếu N là một môđun con của một R – nửa môđun M và α là một

R – đồng cấu từ N đến A

E thì đối với mỗi a∈A ta có một R – đồng cấu

αa :N → E được xác định bởi nαa =( )nα ( )a .

Vì E là nội xạ nên đối với mỗi a∈A tồn tại một R – đồng cấu

βa :M → E là mở rộng của αa.

Định nghĩa một ánh xạ β : → A

M E bởi (mβ)( )a =mβa đối với mọi m ∈M và mọi a∈A. Khi đó β là một R – đồng cấu mở rộng của α.

Như vậy A

E là nội xạ.

ii) Giả sử E' là hạng tử trực tiếp của E và N

E là nửa môđun con của

E thỏa mãn E =E'⊕E''.

Khi đó tồn tại một R – đồng cấu Π :E → E' sao cho Π là toàn ánh và Ker( )Π = E''.

Nếu N là một nửa môđun con của R – nửa môđun M và

α :N →E' là một R – đồng cấu thì do E nội xạ nên tồn tại một R – đồng cấu β :M →E là mở rộng của αλ.

Nói riêng, nếu x∈N thì xβ ∈E' và do đó xβΠ =xαλΠ = xα. Do đó βα :M →E' là mở rộng của α, chứng tỏ E' nội xạ. □

KẾT LUẬN

Với nội dung nghiên cứu đã trình bày, khóa luận “Một số tính chất cơ

bản của nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị” đã hoàn thành và

đạt được mục tiêu nghiên cứu đề ra. Cụ thể là:

Thứ nhất, tìm hiểu một cách đầy đủ các đặc trưng, các tính chất cơ bản của nửa vành giao hoán có đơn vị, iđêan, nửa vành thương, đồng cấu nửa vành.

Thứ hai, tổng quan và hệ thống một cách khá đầy đủ các khái niệm và kết quả về nửa môđun trên nửa vành giao hoán có đơn vị, cụ thể là: nửa môđun, nửa môđun con, nửa môđun thương; đồng cấu nửa môđun; nửa môđun giản ước được; nửa môđun tự do; nửa môđun xạ ảnh; nửa môđun nội xạ.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Nguyễn Tiến Quang (2008), Giáo trình Môđun và nhóm Aben, Nhà xuất

bản Đại học sư phạm, Hà Nội.

[2]. Hoàng Xuân Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà

Nội.

[3]. Dương Quốc Việt (2013), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất bản Đại học

Sư phạm, Hà Nội.

[4]. Jawad Y. Abuhlail (2012), Uniformly Flat Semimodules, Department of

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ... 1

1. Lý do chọn đề tài khóa luận... 1

2. Mục tiêu khóa luận... 1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ... 1

4. Phương pháp nghiên cứu ... 2

5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu... 2

6. Ý nghĩa khoa học... 2

7. Bố cục của khóa luận... 2

CHƯƠNG 1. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA VÀNH ... 4

1.1. Nửa vành ... 4

1.2. Nửa vành con ... 8

1.3. Iđêan và nửa vành thương... 9

1.4. Đồng cấu nửa vành... 14

CHƯƠNG 2. NỬA MÔĐUN TRÊN NỬA VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ... 17

2.1. Nửa môđun, nửa môđun con và nửa môđun thương ... 17

2.1.1. Nửa môđun... 17

2.1.2. Nửa môđun con ... 18

2.1.3. Nửa môđun thương... 23

2.2. Tổng và giao của các nửa môđun con ... 24

2.2.1. Tổng và giao của các nửa môđun con ... 24

2.2.2. Nửa môđun con sinh bởi một tập hợp ... 25

2.3. Đồng cấu nửa môđun... 27

2.4. Nửa môđun giản ước được ... 31

2.5. Nửa môđun tự do... 35

2.7. Nửa môđun nội xạ... 41 KẾT LUẬN... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 46