Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học
Trong tài liệu này giới thiệu một số bài toán về tính chia hết của các đa thức đối xứng và phản đối xứng. Một đa thức được gọi là đối xứng, nếu giá trị của nó không thay đổi khi ta đổi chỗ hai biến bất kỳ và được gọi là phản đối xứng, nếu nó đổi dấu khi ta đổi chỗ hai biến bất kỳ. Để giải các bài toán về tính chia hết giữa các đa thức ta thường sử dụng Định lý Bézout, hệ quả dưới đây và các kỹ năng phân tích thành nhân tử.
Định lý Bézout. Số dư trong phép chia đa thứcf(x) cho x−a bằng f(a).
Hệ quả. Đa thức f(x) chia hết cho x−a khi và chỉ khi f(a) = 0, tức là, x = a là nghiệm của f(x).
Xét một số bài toán sau đây.
Bài tập
1. Chứng minh rằng(x+y)n −xn
−yn chia hết cho x2+xy+y2 khi và chỉ khi n = 6k±1.
2. Chứng minh rằng(x+y)2n+1+xn+2yn+2 chia hết chox2+xy+y2 với mọin ∈Z+.
3. Chứng minh rằng, nếu đa thức đối xứng f(x, y) chia hết cho x2 − y2, thì nó chia hết cho x3+y3−(x+y)xy.
4. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên p, q thì đa thức xpyq+ypzq+zpxq
−xqyp
−yqzp
−zqxp
chia hết cho (x−y)(x−z)(y−z).
5. Chứng minh rằng, với mọi các số tự nhiên k, m, n, thì đa thức xkymzn+ykzmxn+zkxmyn −xnymzk −ynzmxk −zkxmyk chia hết cho (x−y)(x−z)(y−z). 6. Cho đa thức f(x, y, z) = xmyn+ymzn+zmxn −xnym −ynzm −znxm.
Chứng minh rằng, nếu f(x, y, z) chia hết cho (x+y)(x+z)(y+x), thì nó chia hết cho (x2 −
y2)(x2−z2)(y2−z2).
7. Chứng minh rằng, đa thức
a4(b2+c2−a2)3+b4(c2+a2−b2)3+c4(a2+b2−c2)3