Định lý 1.3. [31] Nếu {Xn, Fn, n∈ℕ} là martingale trên và τ là thời ñiểm dừng. Giả sử một trong 3 ñiều kiện sau thỏa mãn :
(i) τ là thời ñiểm dừng hữu hạn, tức là tồn tại hằng số k sao cho P(τ ≤k )=1, (ii) E( )τ < +∞ và tồn tại hằng số B ñể
(iii) Tồn tại hằng số C ñể Xn∧τ ≤C ( h.c.c ).
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale.
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN
PHỤ THUỘC MARKOV
Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñểước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây:
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I { }Ii i 0
≥ = . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau: 1(1 ) , 1,2,..., t t t t t U =U− +I +X −Y t= (2.1) 0 . U =u
- Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy
{ }i i 0
I I
≥
= . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau
1 ( )(1 ) , 1, 2,..., t t t t t U = U − +X +I −Y t= (2.2) 0 . U =u
trong ñó u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểmX { }Xi i 0
≥
= ,
dãy tiền chi trả bảo hiểm Y { }Yj j 0
≥
= , dãy lãi suất I ={ }Ik k≥0 và các dãy biến ngẫu nhiên , ,X Y I là ñộc lập với nhau.
Trước hết, ta có mô hình (2.1) và (2.2) lần lượt ñược viết dưới dạng sau
( ) 1 1 1 1 1 0 1 2 t t t t k k k j k k j k U u. ( I ) X Y ( I ),( t , , ,...), = = = + = ∏ + +∑ − ∏ + = (2.3) [ ] 1 1 1 1 1 1 0 1 2 t t t t k k k k j k k j k U u. ( I ) X ( I ) Y ( I )( t , , ,...) = = = + = ∏ + +∑ + − ∏ + = . (2.4)
Ởñây, ta quy ước 1 b t t a z = = ∏ và 0 b t t a z = = ∑ nếu a>b.
- Các công trình của Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller, A. [41], Promisslow, S.D. [51],Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], … ñã xét mô hình (2.1), (2.2) trong các trường hợp:
+) dãy tiền thu bảo hiểm X và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y ñộc lập cùng phân phối, dãy lãi suất I phụ thuộc hồi quy hoặc phụ thuộc Markov,
+) dãy tiền chi trả bảo hiểm Y phụ thuộc hồi quy và dãy lãi suất I phụ thuộc Markov,
+) dãy tiền thu bảo hiểm X , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y và dãy lãi suất Iphụ thuộc hồi quy.
- Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] xét các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là các dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Các tác giảñã xây dựng ñược bất ñẳng thức Lundberg tổng quát cho các xác suất thiệt hại.
Luận án xét mô hình (2.1) và (2.2) trong trường hợp: Dãy tiền thu bảo hiểm X và dãy tiền chi trả bảo hiểm Y là phụ thuộc Markov, còn dãy lãi suất I ñộc lập cùng phân phối. Phương pháp ước lượng ñược sử dụng là phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale.
Kết quả xây dựng bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy cho mô hình (2.1) và (2.2) ñược ñăng tải trong công trình [5] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). Còn kết quả xây dựng bất ñẳng thức ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale cho mô hình (2.1) và (2.2) ñược ñăng tải trong công trình [3] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).