II- Các nhận xét và các bài toán minh hoạ cho việc ứng dụng, khai thác một bất đẳng thức lớp
MOÄT KYế THUAÄT CHệÙNG MINH BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN
BAÁT ẹAÚNG THệÙC COÙ ẹIEÀU KIEÄN ===========
Trong moọt soỏ baứi toaựn Baỏt ủaỳng thửực coự moọt soỏ khaự nhieàu baứi toaựn chửựng minh maứ caực aồn coự ủieàu kieọn raứng buoọc; daùng: “Cho C ≥ D. Chửựng minh A ≥ B”
Coự moọt kyừ thuaọt ủeồ chửựng minh laứ ta ủi tửứ chửựng minh: (A – B) + (D –C) ≥ 0; Khi ủoự tửỷ ủieàu kieọn C ≥ D ta suy ra ủửụùc A ≥ B
Sau ủaõy laứ moọt soỏ vớ duù:
Baứi toaựn 1: Cho a + b ≥ 1. Chửựng minh raống: a2 + b2 ≥ 1/2
Giaỷi: Ta coự (a2 + b2 – 1/2) + (1 – a – b) = a2 + b2 – a – b – 1/2 = (a2 – a + 1/4) + ( b2 – b + 1/4) = (a – 1/2)2 + (b – 1/2)2 ≥ 0. Maứ a + b ≥ 1 suy ra: 1 – a – b ≤ 0 => a2 + b2 – 1/2 ≥ 0
Hay a2 + b2 ≥ 1/2
Baứi toaựn 2: Chửựng minh raống neỏu a + b ≥ 2 thỡ a3 + b3 ≤ a4 + b4
Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 – a3 + b3) + ( 2 – a – b) = a4 – a3 – a + 1 + b4 – b3 – b + 1 = = (a – 1)(a3 – 1) + (b -1)(b3 – 1) = (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) ≥ 0
Maứ a + b ≥ 2 => 2 – a – b ≤ 0 => a4 + b4 – a3 + b3 ≥ 0 => a3 + b3 ≤ a4 + b4
Baứi toaựn 3: Cho x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn: x3 + y4 ≤ x2 + y3. Chửựng minh raống: x3 + y3 ≤ x2 + y2 vaứ x2 + y3 ≤ x + y2
Giaỷi: a/ Ta coự: (x2 + y2 – x3 – y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = y2 – 2y3 + y4 = y2(y – 1)2 ≥ 0 Maứ x3 + y4 ≤ x2 + y3 => x3 + y4 – x2 – y3 ≤ 0 => x3 + y3 ≤ x2 + y2
b/ Ta coự: (x + y2 – x2 + y3) + (x3 + y4 – x2 – y3) = x – 2x2 + x3 + y2 – 2y3 + y4 = = x(1 – x)2 + y2(y – 1)2 ≥ 0 (vỡ x > 0)
Maứ x3 + y4 ≤ x2 + y3=> x3 + y4 – x2 – y3 ≤ 0 => x2 + y3 ≤ x + y2
Baứi toaựn 4: Chửựng minh raống neỏu: a + b + c ≥ 3 thỡ a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Giaỷi: Ta coự: (a4 + b4 + c4 – a3 – b3 – c3) + (3 – a – b – c) =
= (a – 1)2(a2 + a + 1) + (b – 1)2(b2 + b + 1) + (c – 1)2(c2 + c + 1≥ 0 Maứ: a + b + c ≥ 3 => 3 – a – b – c ≤ 0 => a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Baứi toaựn 5: Cho x, y laứ caực soỏ dửụng thoaỷ maừn x3 + y3 = x – y. Chửựng minh raống: x2 + y2 < 1
Giaỷi: Ta coự: 1 – x2 – y2 = (1 – x2 – y2) + (x3 + y3 – x + y) = x4 – x3 – x + 1 + y4 – y3 + y = (x – 1)(x2 – 1) + y(y2 – y + 1) = (x + 1)(x – 1)2 + y(y2 – y + 1) > 0 ( vỡ x; y > 0) => x2 + y2 < 1
---- ---- BAỉI TAÄP AÙP DUẽNG:
1/ Bieỏt raống x2 + y2 ≤ x + y. Chửựng minh raống x + y ≤ 2 2/ Bieỏt raống ab ≥ 1. Chửựng minh raống a2 + b2 ≥ a + b