III. CHƯƠNG 3: MƠ HÌNH ARIMA, PHẦM MỀM EVIEWS
3.1.1 Lập mơ hình AR, MA và ARIMA với dữ liệu chuỗi thời gian
a. Quá trình tự hồi quy (AR)
Gọi Yt đại diện cho biến Y vào thời gian t. Nếu ta lập mơ hình Yt như
sau:
(Yt - ) = α1(Yt-1 - δ) + ut
tương quan, cĩ giá trị trung bình bằng 0 và phương sai khơng đổi δ2 (nĩ
được gọi là yếu tố nhiễu ngẫu nhiên thuần túy - white noise) thì ta nĩi rằng
Yt tuân theo quá trình ngẫu nhiên tự hồi quy bậc nhất hay AR(1).
Giá trị Y trong thời gian t phụ thuộc vào giá trị của nĩ trong thời gian trước và vào một yếu tố ngẫu nhiên; các giá trị của Y được biểu diễn dưới dạng
độ lệch khỏi giá trị trung bình của nĩ.
Nĩi một cách khác, mơ hình này cho biết giá trị dự báo của Y trong thời đoạn
t chỉ đơn giản là tỷ lệ (=α1) của giá trị của nĩ trong thời đoạn (t - 1) cộng với
yếu tố nhiễu ngẫu nhiên trong thời gian t; các giá trị của Y cũng được biểu
diễn xung quanh giá trị trung bình của nĩ. Nếu xem xét mơ hình sau:
(Yt - ) = α1(Yt-1 - ) + α2(Yt-2 - ) + ui
Khi đĩ thì ta cĩ thể nĩi rằng Yt tuân theo quá trình tự hồi quy bậc hai hay AR(2). Tức là, giá trị của Y trong thời đoạn t phụ thuộc vào giá trị của nĩ trong hai thời đoạn trước đĩ, với các giá trị của Y được biểu diễn xung quanh
giá trị trung bình δ, ta cĩ thể viết lại như sau:
(Yt - δ) = α1(Yt-1 - δ) + α2(Yt-2 - δ) + ui + ... + αp(Yt-p - δ) + ui
Trong trường hợp này, Yt là quá trình tự hồi quy bậc p hay AR(p).
Trong tất cả các mơ hình trên, chỉ cĩ các giá trị hiện tại và quá khứ của Y
được đưa vào mơ hình; khơng cĩ biến làm hồi quy nào khác. Do vậy, ta nĩi rằng “dữ liệu tự nĩi”. Đây là một loại mơ hình dạng rút gọn về các mơ hình phương trình đồng thời.
b.Quá trình trung bình trượt (MA)
Quá trình AR vừa thảo luận khơng phải là cơ chế duy nhất cĩ thể tạo
ra Y. Giả sử ta lập mơ hình Y như sau:
với μ là hằng số và u, như trước đây, số hạng sai số nhiễu ngẫu nhiên thuần
túy. Y trong thời gian t bằng một hằng số cộng với trung bình trượt của sai số hiện tại và quá khứ. Vậy, trong trường hợp này, người ta nĩi rằng Y tuân
theo quá trình trung bình trượt bậc nhất hay MA(1).
Nhưng nếu Y tuân theo biểu thức Yt = μ + β0ut +β1ut-1 + β2 ut-2 thì đĩ là một
quá trình MA(2), tổng quát :
Yt = μ + β0ut +β1ut-1 + β2 ut-2 + ... + βq ut-q
là một quá trình MA(q). Hay cịn gọi là một quá trình trung bình trượt đơn
giản là một kết hợp tuyến tính của các số hạng nhiễu ngẫu nhiên thuần túy.
c. Quá trình tự hồi quy và trung bình trượt (ARMA)
Tuy nhiên nhiều khả năng là Y cĩ các đặc điểm của cả AR và MA và do vậy cĩ đặc điểm ARMA. Vậy, Yt tuân theo quá trình ARMA(1, 1) nếu
nĩ cĩ thể viết dưới dạng:
Yt = θ + α1Yt-1 + β0ut + β1ut-1
bởi vì cĩ một số hạng tự hồi quy và một số hạng trung bình trượt, θ là hằng
số. Nĩi chung, một quá trình ARMA(p, q), sẽ cĩ p số hạng tự hồi quy và q
số hạng trung bình trượt.
d. Quá trình trung bình trượt kết hợp tự hồi quy (ARIMA)
Các mơ hình chuỗi thời gian được dựa vào giả thiết là các chuỗi thời gian nghiên cứu cĩ tính dừng yếu hay giá trị trung bình và phương sai của chuỗi thời gian cĩ tính dừng yếu là hằng số và đồng phương sai của nĩ khơng đổi theo thời gian.
Tuy vậy ta cũng đã thấy nếu một chuỗi thời gian là kết hợp bậc nhất [cĩ nghĩa là nĩ cĩ dạng I(1)], thì các sai phân bậc một của nĩ là I(0), tức là, cĩ tính dừng. Tương tự, nếu một chuỗi thời gian là I(2), sai phân bậc hai của nĩ
ta cĩ một chuỗi I(0).
Do vậy, nếu ta phải tính sai phân một chuỗi thời gian d lần để làm cho nĩ cĩ tính dừng và sau đĩ áp dụng mơ hình ARMA(p, q), ta nĩi rằng chuỗi thời gian ban đầu là ARIMA(p, d, q), tức là nĩ là một chuỗi thời gian trung bình trượt kết hợp tự hồi quy, với p biểu thị số các số hạng tự hồi quy, d biểu
thị số lần chuỗi thời gian phải được tính sai phân cho tới khi cĩ tính dừng, và
q là số các số hạng trung bình trượt. Vậy, một chuỗi thời gian ARIMA(2, 1, 2)
phải được sai phân một lần (d=1) để nĩ cĩ tính dừng. Và chuỗi thời gian
cĩ tính dừng (sai phân bậc một) cĩ thể được lập mơ hình dưới dạng
ARMA(2, 2), tức là, nĩ cĩ hai số hạng AR và hai số hạng MA. Tất nhiên, nếu d = 0 (nghĩa là chuỗi thời gian khởi đầu cĩ tính dừng), ARIMA(p, d =
0, q) = ARMA(p, q). Chú ý rằng một quá trình ARIMA(p, 0, 0) cĩ nghĩa là quá trình cĩ tính dừng AR(p) thuần túy; một quá trình ARIMA(0, 0, q) cĩ nghĩa là quá trình cĩ tính dừng MA(q) thuần túy. Khi biết các giá trị của p, d và q, ta cĩ thể phát biểu quá trình nào đang được lập mơ hình.