nhau
Mệnh đề 2.2.4. Không thể dùng thước kẻ và compa để chia một góc tùy ý thành ba góc nhỏ bằng nhau.
Chứng minh: Giả sử α là một góc tùy ý. Đặt β = α
3. Khi đó
a
2 := cosα = cos 3β = 4 cos3β − 3 cosβ. Ta có phương trình (2 cosβ)3 −
3(2 cosβ)−a = 0. Xét những góc α để x3 −3x−a là đa thức bất khả quy trên Q(a).
Nếu góc β dựng được bằng thước kẻ và compa thì x = 2 cosβ cũng phải dựng được bằng thước kẻ và compa. Vì đa thứcf(x) =x3−3x−a ∈
Q(a)[x] là bất khả quy nên nghiệm x1 = 2 cosβ thỏa mãn [Q(a, x1) :
Q(a)] = 3 không lũy thừa của 2. Vậy x1 không thể dựng được bằng thước kẻ và compa và suy ra góc β không thể dựng được bằng thước kẻ và compa. Ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 2.2.1. Không thể dùng thước kẻ và compa để chia góc 300 thành ba góc 100.
Bài giải: Ta có a = 2 cos 300 = √
3. Đa thức x3 −3x−√3 là đa thức bất khả quy trên Q. Khi đó cos 100 là nghiệm của đa thức bất khả quy f(x) = x3 −3x−√3 trên Q và [Q(cos 100) : Q] = 3 theo Định lý 1.1.3, Chương 1, không là lũy thừa của 2. Vậy không thể dùng thước kẻ và compa để chia ba góc 300.
Ví dụ 2.2.2. Không thể dùng thước kẻ và compa để chia góc 600 thành ba góc 200.
Bài giải: Ta có a = 2 cos 600 = 1. Đa thức x3 − 3x − 1 là đa thức bất khả quy trên Q. Khi đó cos 200 là nghiệm của đa thức bất khả quy f(x) = x3 −3x −1 trên Q và [Q(cos 200) : Q] = 3 theo Định lý 1.1.3, Chương 1, không là lũy thừa của 2. Vậy không thể dùng thước kẻ và compa để chia ba góc 600.
Ví dụ 2.2.3. Dùng thước kẻ và compa để chia ba góc 450. Bài giải: Ta có a = 2 cos 450 = √
2. Đa thức x3 − 3x − √2 là khả quy trên Q(√ 2), vì x3 − 3x − √2 = (x + √ 2)(x2 − √2x − 1). Vậy [Q(√ 2,cos 150) : Q(√ 2)] = 2. Do đó có thể dùng thước kẻ và compa để chia ba góc 450, theo Hệ quả 2.2.1.