Mệnh đề 5.1. Cho 𝐴 là một nhĩm con khơng tầm thường của nhĩm cộng các số thực (R,+). Nhĩm 𝐴 hoặc là xyclic hoặc trù mật trongR.
Chứng minh. Đặt𝜖= inf{𝑎∈𝐴:𝑎 >0}.
Số 𝜖 luơn tồn tại vì nếu cĩ một phần tử
𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 < 0 thì −𝑎 > 0 và −𝑎 ∈ 𝐴. Ta xét ba trường hợp:
TH1.𝜖= 0: Khi đĩ tồn tại một dãy số thực
dương(𝑎𝑛)𝑛 ⊂𝐴giảm dần xuống0. Xét
một đoạn bất kỳ (𝑎, 𝑏) ⊆ R, khơng mất
tính tổng quát cĩ thể giả sử 0 < 𝑎 < 𝑏.
Khi đĩ luơn cĩ một phần tử𝑎𝑛trong dãy
trên sao cho 0 < 𝑎𝑛 < 𝑏−𝑎. Đặt 𝑁 =
[︀ 𝑏/𝑎𝑛 ]︀ ∈Z. Khi đĩ dễ thấy𝑎 < 𝑁 𝑎𝑛< 𝑏. Vì 𝐴 là một nhĩm nên𝑁 𝑎𝑛 ∈ 𝐴, do đĩ (𝑎, 𝑏)∩𝐴̸=∅và𝐴là trù mật trongR.
TH2.𝜖 >0 và𝜖̸∈𝐴: Tương tự như trên,
cĩ một dãy số thực dương (𝑎𝑛)𝑛 ⊂ 𝐴
giảm dần xuống 𝜖. Vì 𝜖 > 0 nên với chỉ
số 𝑛 đủ lớn thì 0 < 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 < 𝜖.
𝑎𝑛+1 −𝑎𝑛 ∈ 𝐴 (𝐴 là một nhĩm). Do đĩ trường hợp này khơng xảy ra.
TH3. 𝜖 > 0và 𝜖∈ 𝐴: Mọi số thực 𝑎∈ 𝐴
đều cĩ biểu diễn dạng 𝑎 = 𝑛𝜖 +𝑏 với
𝑛 ∈ Z và 0 ≤ 𝑏 < 𝜖. Do 𝐴 là một nhĩm
nên 𝑏 = 𝑎− 𝑛𝜖 ∈ 𝐴. Từ cách chọn 𝜖
suy ra 𝑏 = 0. Vậy 𝐴 = 𝜖Z là một nhĩm
xyclic.
Ví dụ 5.2 (DeMO). Cho trước một hình chữ nhật. Theo phương của các cạnh, cắt hình chữ nhật thành hai hoặc ba hình chữ nhật bằng nhau và giữ lại một. Chứng minh rằng với mọi 𝜖 > 0 cho trước, xuất phát từ hình chữ nhật ban đầu, cĩ hữu hạn cách cắt sao cho hình chữ nhật cuối cùng cĩ tỷ lệ hai cạnh nằm trong khoảng
(1−𝜖,1 +𝜖).
Lời giải. Gọi tỷ số độ dài hai cạnh của hình chữ nhật ban đầu là 𝑟. Sau một số hữu hạn lần cắt, tỷ số độ dài hai cạnh hình chữ nhật mới cĩ dạng 2𝑚3𝑛𝑟 với
𝑚, 𝑛 ∈ Z. Để chứng minh tỷ số này gần
1 tùy ý, ta chứng minh kết quả tổng quát hơn là tập {2𝑚3𝑛 : 𝑚, 𝑛 ∈ Z} trù mật trên R≥0. Điều này tương đương với tập
𝐴 = {𝑚+𝑛log23 : 𝑚, 𝑛 ∈ Z} trù mật trên R. Khẳng định được suy ra từ Mệnh đề 5.1.
Ví dụ 5.3(V. I. Arnold). Chứng minh rằng cĩ vơ hạn lũy thừa (kể cả âm) của 2 bắt đầu bằng chữ số7.
Lời giải. Một lũy thừa 2𝑘 cĩ chữ số đầu tiên là7 khi và chỉ khi tồn tại ℎ ∈ Zsao cho 7 ≤ 2𝑘/10ℎ < 8. Ta đi chứng minh
tập {2𝑘/5ℎ :𝑘, ℎ ∈ Z} trù mật trên R≥0, hay tương đương, tập 𝐴= {𝑘+ℎlog25 :
𝑘, ℎ ∈ Z} trù mật trên R. Điều này được suy ra từ Mệnh đề 5.1.
Bài 8. Cho ánh xạ liên tục𝑓 :R→Rthỏa mãn𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥+√2) = 𝑓(𝑥+√3)với mọi𝑥∈R. Chứng minh rằng𝑓 là một ánh xạ hằng.
Bài 9. Chứng minh rằng tập {sin𝑛: 𝑛∈
Z}trù mật trong đoạn[−1,1].
Bài 10. Trên mặt phẳng tọa độ, cho 𝑃 là một ngũ giác đều và 𝑋 ̸= ∅ là một tập các điểm sao cho𝑋 đĩng đối với các phép lấy đối xứng qua cạnh của𝑃. Chứng minh rằng𝑋trù mật trên mặt phẳng.
TÀI LIỆU
[1] Đề thi học sinh giỏi quốc gia2010.
[2] M. Bessenyei, Functional equations and fi- nite groups of substitutions, Amer. Math. Monthly117(10) (2010), 921-927.
[3] Đồn Trung Cường, Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2011. [4] D. Djuki´c, V. Jankovi´c, I. Mati´c, N. Petrovi´c,
The IMO compendium - A collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads 1954-2009. Prob- lem Books in Mathematics. Springer 2010. [5] Trần Nam Dũng, Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển
Việt Nam tham dự IMO 2010.
[6] R. Gelca, T. Andreescu, Putnam and beyond. Springer 2007.
[7] Serre, J. P., Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics 42. Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1977.