Trường với một số hữu hạn các phần tử được gọi là trường hữu hạn, với định nghĩa:
Định nghĩa 1 [14]: Một trường hữu hạn {F,+,•} gồm có một tập hữu hạn F, và hai phép toán + và • thỏa mãn các tính chất sau:
1. ∀a,b∈F,a+b∈F,a•b∈F 2. ∀a,b∈F,a+b=b+a,a•b=b•a 3. ∀a,b,c∈F,(a+b)+c=a+(b+c),(a•b)•c=a•(b•c) 4. ∀a,b,c∈F,a•(b+c)=a•b+a•c 5. ∃0,1∈F,a+0=0+a =a,a•1=1•a =a 6. ∀a∈F,∃(−a)∈F sao cho a+(−a)=(−a)+a=0 ∀a ≠0∈F,∃a−1∈F sao cho a•a−1 =a−1•a=1
Trường hữu hạn còn có tên gọi khác là trường Galois (Galois Field). Số phần tử trong một trường Galois có thể là một số nguyên tố hoặc lũy thừa của một số nguyên
tố. Chẵng hạn GF(7), GF(8)=GF(23) và GF(28) là các trường Galois, còn GF(6) là hoàn toàn sai khi nói nó là một trường Galois. Từ đây trở đi ta ký hiệu p là số nguyên
tố. GF(pm) là trường hữu hạn với pm phần tử, còn được gọi là trường mở rộng của
) (p
GF với p được gọi là đặc trưng (characteristic) [14].
Một số định nghĩa khác liên quan đến trường hữu hạn GF(pm):
Định nghĩa 2 [14]: Bậc của một trường hữu hạn là số phần tử trong trường hữu hạn
đó.
Định nghĩa 3 [14]: Cho α là một phần tử khác 0 của GF(pm), bậc của α là số
nguyên dương nhỏ nhất, ký hiệu ord(α ), sao cho αord(α) là phần tử đơn vị của GF(pm)
.
Định nghĩa 4 [14]: Khi ord(α)= pm −1, α được gọi là một phần tử cơ bản của
) (pm GF .
Định nghĩa 5 [14]: Đa thức với các hệ số của nó là các phần tử của GF(pm) được gọi là đa thức trên GF(pm).
Định nghĩa 6 [14]: Một đa thức trên GF(pm) là bất khả quy nếu nó không thể được phân tích thành nhân tử của các đa thức không tầm thường trên trường tương tự.