/ F (xem 1.1.13), tức là:
2. Các giá trị riêng và vector riêng của XXT
Để tìm các giá trị riêng của XXT, về nguyên tắc ta phải giải phương trình:
XXT µI 0 (2.4.3) trong đó I là ma trận đơn vị cấp n.
Tuy nhiên, từ những giá trị µ µ µ đã xác định ở §3, dễ dàng tìm được µj ≡ λj, với mọi 1, ; q ≤ min(n,p). Thực vậy :
Trong RP XTXu λ u (2.4.4) Trong Rn XXTv µ v (2.4.5) Nhân hai vế của (2.4.5) với X ta được:
XXT Xu λ Xu (2.4.6) Biểu thức (2.4.6) chỉ ra rằng mọi vector riêng Xu1 của ma trận XXT ứng với giá trị riêng λ1≠0 đều tương ứng với một vector riêng u1 của ma tran XTX với cùng giá trị riêng λ1.
Vì µ1 là giá trị riêng lớn nhất của XXT, nên phải có λ1 ≤ µ1. Nhân hai vế của (2.4.5) với XT, ta được:
XTX XTv µ XTv
Bằng cách phân tích như trên, phải có μ1 ≤ λ1. Tóm lại : λ1 = μ1.
Tiếp tục xét cho các giá trị riêng μ2,…., μq, trong đó q≤min(n,p) ta được μ1 = λ1 với mọi j 1, q.
Để tìm các vector riêng vj tương ứng với μ1 ( tức là tìm thành phần chính thứ j), ta không cần làm lại các phép tính trên ma trận XXT, mà chỉ cần dựa vào nhận xét sau đây :
Vì vector Xuj, có chuẩn :
Xu uTXTXu λ suy từ 3.3.7
nên vector đơn vị tương ứng vj v i cùng giá trịớ riêng λj (λj ≠ 0) được cho bởi:
v Xu (2.4.7)
Nhờ đó, sau khi đã tính được uj, ta tính được vector riêng vj bằng cách nhân trái ma trận X với vector uj.
Tương tự, cũng có:
uj là trục chính thứ j trong RP, j 1, q
vj là thành phần chính thứ j trong Rn, j 1, q.