Định nghĩa đại số gia tử

Một cấu trúc đại số AT = (T, G, H, ≤) với H đƣợc phân hoạch thành H+ và H- các gia tử ngƣợc nhau đƣợc gọi là một đại số gia tử nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:

(1) Mỗi gia tử hoặc là dƣơng hoặc là âm đối với bất kỳ một gia tử nào khác, kể cả với chính nó.

(2) Nếu hai khái niệm u và v là độc lập nhau, nghĩa là u∉H(v) và v∉H(u), thì (∀x∈H(u)) {x∉H(v)}. Ngoài ra nếu u và v là không sánh đƣợc thì bất kỳ x∈H(u) cũng không sánh đƣợc với bất kỳ y∈H(v). (H(u) là tập các giá trị đƣợc sinh ra do tác động của các gia tử của H vào u).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(3) Nếu x ≠ hx thì x∉H(hx) và nếu h ≠ k và hx ≤ kx thì h’hx ≤ k’kx, với mọi gia tử h, k, h’ và k’. Hơn nữa nếu hx ≠ kx thì hx và kx là độc lập.

(4) Nếu u∉H(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv) đối với mọi gia tử h.

Xét đại số gia tử AT có đúng 3 phần tử sinh: dƣơng, âm và một phần tử trung hòa w nằm giữa hai phần tử sinh kia và có tính chất hw = w, với mọi h∈H. Một phần tử y đƣợc gọi là phần tử đối nghịch của phần tử x nếu có tồn tại một biểu diễn của x có dạng x = h

n…h

1g, w ≠ g ∉ G, sao cho y = h

n…h

1g’, với w ≠ g’∈G và g’ ≠ g (nói cách khác: hai phần tử của đại số gia tử được gọi là đối nghịch nhau nếu chúng có dạng biểu diễn với cùng một dãy các gia tử nhưng phần tử sinh của chúng khác nhau, một cái là dương và một cái là âm).

Đặc biệt phần đối nghịch của w đƣợc định nghĩa chính là w. Phần tử đối nghịch của x đƣợc ký hiệu là –x với chỉ số nếu cần thiết. Nhìn chung một phần tử có thể có nhiều phần tử đối nghịch.

Nếu mỗi phần tử của T chỉ có duy nhất một phần tử đối nghịch thì AT đƣợc gọi là đại số gia tử đối xứng.

1.4.2.1. Một số tính chất của đại số gia tử

Định lý sau cho thấy tính thứ tự ngữ nghĩa của các hạng từ trong ĐSGT.

Định lý 2. Cho tập H- và H+ là các tập sắp thứ tự tuyến tính của ĐSGT AX = (X, G, H, ). Khi đó ta có các khẳng định sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(2) Nếu X đƣợc sinh từ G bởi các gia tử và G là tập sắp thứ tự tuyến tính thì X cũng là tập sắp thứ tự tuyến tính. Hơn nữa nếu u < v, và u, v là độc lập với nhau, tức là u H(v) và v  H(u), thì H(u)  H(v).

Định lý tiếp theo xem xét sự so sánh của hai hạng từ trong miền ngôn ngữ của biến X.

Định lý 3. Cho x = hn…h1u và y = km…k1u là hai biểu diễn chính tắc của

x và y đối với u. Khi đó tồn tại chỉ số j ≤ min{n, m} + 1 sao cho hj' = kj' với mọi j' < j (ở đây nếu j = min {n, m} + 1 thì hoặc hj là toán tử đơn vị I, hj = I, j

= n + 1 ≤ m hoặc kj = I, j = m + 1 ≤ n) và

(1) x < y khi và chỉ khi hjxj < kjxj, trong đó xj = hj-1...h1u. (2) x = y khi và chỉ khi m = n và hjxj = kjxj.

(3) x và y là không so sánh đƣợc với nhau khi và chỉ khi hjxj và kjxj là không so sánh đƣợc với nhau.

Định lý 4. Một đại số gia tử AT là đối xứng nếu với mọi x, x là điểm dừng khi và chỉ khi –x cũng là điểm dừng.

Định lý trên chứng tỏ rằng đại số gia tử đối xứng, dù chỉ dựa trên các tính chất tự nhiên của khái niệm ngôn ngữ cũng có những tính chất rất quan trọng và đủ phong phú để xây dựng và phát triển một cơ sở logic cho lập luận xấp xỉ. Rõ ràng nó sẽ là một logic không kinh điển (non-classical logic). Ngoài ra có thể thấy rằng tập G là đại số gia tử đối xứng con của AT và nó thỏa mãn các tính chất của đại số cho logic 3-trị. Với những lý do đó có thể xem mỗi một đại số gia tử đối xứng là một cơ sở đại số cho một logic các giá trị ngôn ngữ. Định lý tiếp theo nói về mối quan hệ với miền [0, 1].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Định lý 5. Nếu tập các toán tử (gia tử) H+ và H- có quan hệ thứ tự sắp xếp tuyến tính thì có tồn tại một đẳng cấu 𝝋 từ đại số gia tử đối xứng AT = (T, G, H, -, ∪, ∩, ⇒, ≤) vào cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] sao cho:

(1) Bảo toàn quan hệ thứ tự.

(2) (u ∪ v) = max{ 𝝋 (u), 𝝋 (u ∪ v)} = min{ 𝝋 (u), 𝝋 (v)}.

(3) 𝝋 (u ⇒ v) = max{1- 𝝋 (u), 𝝋 (v)} và 𝝋 (-u) = 1- 𝝋 (u). Cần lƣu ý rằng cấu trúc logic đa trị tựa trên đoạn [0, 1] là cơ sở để xây dựng và phát triển logic mờ và lập luận mờ. Vì vậy sự “tƣơng đồng” dựa trên định lý trên chứng tỏ thêm giá trị của cách tiếp cận đại số này.

Các kết quả mở rộng đối với các toán tử sup, inf, gọi là đại số gia tử mở

rộng đối xứng, đồng thời mịn hoá đại số gia tử, đƣa thêm các toán tử hoặc, và liên kết các gia tử tạo thành các gia tử mới. Nhƣng vấn đề tiếp tục này đƣợc quan tâm ở đây là trong các ví dụ trên thƣờng đề cập đến biến chân lý, có miền giá trị đƣợc sắp xếp thứ tự khá rõ, trong khi với các khái niệm ngôn ngữ mà con ngƣời tiếp xúc hàng ngày thì không đƣợc nhƣ vậy. Hoặc bản thân một số gia tử nhƣ có thể, ít nhiều, xấp xỉ cũng không sánh đƣợc với nhau, trong khi suy luận rất cần sự sắp xếp đó.

1.4.2.2. Các đại lƣợng đo trên đại số gia tử

Theo định lý 5 tồn tại một đẳng cấu giữa một đại số gia tử mở rộng đối xứng và cấu trúc logic đa trị tựa trên miền [0, 1]. Chính điều này cho phép ta thiết lập một hàm đo trên đại số gia tử chuyển một giá trị của đại số gia tử mở rộng đối xứng (lớp các đại số gia tử đƣợc quan tâm ở luận văn này) thành một giá trị trong miền [0, 1]. Để xây dựng hàm đo, ta giả thiết các hạng từ cơ sở

hx đều có thể sánh đƣợc với nhau. Nếu chúng không sánh đƣợc ta coi là đồng nghĩa và chỉ còn một đại diện trong đại số gia tử. Giả thiết này biến đại số gia tử thành một tập sắp xếp thứ tự tuyến tính.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.4.2.3. Các hàm đo

Định nghĩa 1.1.2.3.1 (Hàm đo trên đại số gia tử):

Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H, ≤), f: T→[0, 1] là một hàm đo trên T nếu thoả mãn:

(1)∀t∈T: f(t) ∈ [0, 1], f(g+) = 1, f(g-) = 0; trong đó: g+, g- ∈ G, là các phần tử sinh dƣơng và âm.

(2)∀x, y ∈ T, nếu x<y thì f(x)<f(y).

Định nghĩa 1.4.2.3.2 (Hàm ngƣợc của hàm đo):

Cho đại số gia tử (T, G, H, ≤), f là một hàm đo trên T, f-1: [0, 1] → T là hàm ngƣợc của hàm đo f nếu thoả mãn:

∀a ∈ [0, 1], f-1(a) ∈ T sao cho |f(f-1(a)) - a| ≤ |(f(t) - a| ∀t ∈ T. Với các định nghĩa trên, ta có định lý sau:

Định lý 6.: Cho một đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H, ≤), f là một

hàm đo trên T, f-1 là hàm ngƣợc của hàm đo f, ta có: (1)∀t ∈ T, f

-1

(f (t)) = t

(2)∀a, b ∈ [0, 1], nếu a≤b thì f-1(a)≤f-1(b)

Mỗi đại số gia tử đối xứng đều định nghĩa đƣợc hàm đo và hàm ngƣợc của nó vì sự đồng cấu giữa đại số gia tử với miền [0, 1]. Việc giả thiết các gia tử trong tập H đều sánh đƣợc với nhau giúp cho định nghĩa hàm đo dễ dàng hơn. Thông qua hàm đo ta có thể phần nào so sánh đƣợc mức độ ngữ nghĩa giữa các phần tử của các đại số gia tử khác nhau. Ví dụ, từ hai đại số gia tử chiều_cao và cân_nặng thì mức độ chênh lệch giữa “rất cao” và “không cao lắm” phần nào tƣơng ứng với “rất nặng” và “không nặng lắm”. Với hàm đo, ta đã có thể định lƣợng đƣợc các phần tử

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trong cùng một đại số gia tử mở rộng đối xứng, để trên cơ sở đó định nghĩa khoảng cách biểu thị mức độ khác biệt giữa hai giá trị này.

Định nghĩa 1.4.2.3.3.Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H,

≤), f là một hàm đo trên T, thì khoảng cách giữa hai giá trị của đại số gia tử đƣợc định nghĩa bằng:

D(x, y) = |f(x) - f(y)|

Hàm tƣơng tự ngƣợc với khoảng cách, nói về mức độ giống nhau giữa các giá trị trong đại số gia tử. Ta có thể quy ƣớc, giá trị hàm tƣơng tự của một giá trị khác unknow so với unknow là 0.5, bởi vì khi đó không có thông tin gì về độ giống nhau giữa hai giá trị đó.

Định nghĩa 1.4.2.3.4.Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (T, G, H,

≤), w là một giá trị của T, D là hàm khoảng cách giữa hai phần tử của T thì γ

w: T → [0, 1] là một hàm tƣơng tự w, nếu thoả mãn: (1)Nếu w ≠ unknow thì γ w(w) = 1 (2)γ w(unknow) = 0 (3)Nếu D(x, w) ≤ D(y, w) thì γ w(x) ≥ γ w(y)

Lƣu ý rằng, có thể thay các giá trị của hàm khoảng cách hoặc hàm tƣơng tự bằng các giá trị mờ hay giá trị ngôn ngữ của một đại số gia tử mở rộng đối xứng với các phần tử sinh {gần, xa}, bằng cách sử dụng hàm ngƣợc của hàm đo. Mức độ tƣơng tự giữa một giá trị ngôn ngữ với unknow bằng 0.5 (hay bằng unknow) là phù hợp vì thực tế là không thể có thông tin gì để đối sánh chúng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.4.2.4. Vấn đề định lƣợng ngữ nghĩa trong đại số gia tử

Trong phần này ta xem xét ba vấn đề cơ bản đó là độ đo tính mờ của các giá trị ngôn ngữ (hạng từ), phƣơng pháp định lƣợng ngữ nghĩa và khoảng tính mờ của các khái niệm mờ.

Tính mờ của các giá trị ngôn ngữ xuất phát từ thực tế rằng một giá trị ngôn ngữ mang ý nghĩa mô tả cho nhiều sự vật và hiện tƣợng trong thế giới thực, với lý do tập hữu hạn các giá trị ngôn ngữ không đủ để phản ánh thế giới vô hạn các sự vật hiện tƣợng. Nhƣ vậy khái niệm tính mờ và độ đo tính mờ của một giá trị ngôn ngữ đƣợc hình thành và nó là một khái niệm rất khó xác định, đặc biệt trong lý thuyết tập mờ. Tuy nhiên, trong ĐSGT các tác giả đã cho thấy độ đo tính mờ đƣợc xác định một cách hợp lý: “tính mờ của một hạng từ x được hiểu như là ngữ nghĩa của nó vẫn có thể được thay đổi khi tác động vào nó bằng các gia tử”. Do đó, tập các hạng từ sinh từ x bằng các gia tử sẽ thể hiện cho tính mờ của x và do đó H(x) có thể sử dụng nhƣ là một mô hình biểu thị tính mờ của x và kích thƣớc tập H(x) đƣợc xem nhƣ độ đo tính mờ của x. Ta có định nghĩa sau về độ đo tính mờ.

Định nghĩa 1.4.2.4.1. Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ. Ánh xạ fm : X  [0,1] đƣợc gọi là một đo tính mờ của các hạng từ trong X nếu:

(1) fm là đầy đủ, tức là fm(c-) + fm(c+) =1 và hH fm(hu) = fm(u),

uX;

(2) fm(x) = 0, với các x thỏa H(x) = {x}. Đặc biệt, fm(0) = fm(W) = fm(1) = 0;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3) x,y  X, h  H, ) ( ) ( ) ( ) ( y fm hy fm x fm hx fm

 , tỷ số này không phụ thuộc vào x

và y, vì vậy nó đƣợc gọi là độ đo tính mờ của các gia tử và đƣợc ký hiệu bởi

(h).

Trong đó, điều kiện (1) thể hiện tính đầy đủ của các phần tử sinh và các gia tử cho việc biểu diễn ngữ nghĩa của miền thực đối với các biến. (2) thể hiện tính rõ của các hạng từ và (3) có thể đƣợc chấp nhận vì chúng ta đã chấp nhận giả thiết rằng các gia tử là độc lập ngữ cảnh, do vậy khi áp dụng một gia tử h lên các hạng từ thì hiệu quả tác động tƣơng đối làm thay đổi ngữ nghĩa của các hạng từ đó là nhƣ nhau. Hình vẽ sau (hình 1.1) minh họa rõ hơn cho khái niệm độ đo tính mờ của biến ngôn ngữ TRUTH .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Các tính chất của độ đo tính mờ của các hạng từ và gia tử đƣợc thể hiện qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.4.2.3.2.1. Với độ đo tính mờ fm và  đã đƣợc định nghĩa trong định nghĩa 2.1, ta có: (1) fm(c-) + fm(c+) = 1 và ( ) ( ) h H fm hx  fm x  ; (2)     1 ) ( q j  hj , p  j hj 1( )  , với , > 0 và  + = 1; (3)   k X x fm(x) 1, trong đó Xk là tập các hạng từ có độ dài đúng k; (4) fm(hx) = (h).fm(x), và xX, fm(x) = fm(x) = 0;

(5) Cho fm(c-), fm(c+) và (h) với hH, khi đó với x = hn...h1c,   {- ,+}, dễ dàng tính đƣợc độ đo tính mờ của x nhƣ sau:

fm(x) = (hn)...(h1)fm(c). fm(True) fm(VeryTrue) fm(LittleTr) fm(PossTr)) fm(MTr) True Very True Little True Poss. True More True W 1

Hình 2.1: Độ đo tính mờ của biến TRUTH fm(VLTr) fm(MLTr) fm(PLTr) fm(LLTr) fm(VVTr) fm(MVTr) fm(PVTr) fm(LVTr)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Thông thƣờng, ngữ nghĩa của các hạng từ thuần túy mang tính định tính. Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng, chúng ta cần giá trị định lƣợng của các hạng từ này cho việc tính toán và xử lý. Theo tiếp cận của tập mờ, việc định lƣợng hóa các khái niệm mờ đƣợc thực hiện qua các phƣơng pháp khử mờ (defuzzification). Đối với ĐSGT, giá trị định lƣợng của các hạng từ đƣợc định nghĩa dựa trên cấu trúc thứ tự ngữ nghĩa của miền giá trị của các biến ngôn ngữ, cụ thể là độ đo tính mờ của các hạng từ và gia tử. Tuy có nhiều phƣơng pháp xác định giá trị định lƣợng của các hạng từ dựa trên các tham số này nhƣng phải thỏa mãn một số ràng buộc nhất định và đƣợc thể hiện trong định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.4.2.4.2.Cho AX = (X, G, H, , , ) là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ. Ánh xạ  : X  [0,1] đƣợc gọi là một hàm định lƣợng ngữ nghĩa (SQM) của AX nếu:

(1)  là ánh xạ 1-1 từ tập X vào đoạn [0,1] và đảm bảo thứ tự trên X, tức là x, y  X, x < y (x) < (y) và (0) = 0, (1) = 1.

(2)  liên tục: x  X, (x) = infimum (H(x)) và (x) = supremum

(H(x)).

Điều kiện (1) là bắt buộc tối thiểu đối với bất kỳ phƣơng pháp định lƣợng nào, còn điều kiện (2) đảm bảo tính trù mật của H(G) trong X. Dựa trên những ràng buộc này, các tác giả trong [ ] đã xây dựng một phƣơng pháp định lƣợng ngữ nghĩa của các hạng từ trong ĐSGT.

Trƣớc hết chúng ta xét định nghĩa về dấu của các hạng từ nhƣ sau.

Định nghĩa 1.4.2.4.3.Một hàm dấu Sign : X  {-1,0,1} là một ánh xạ đƣợc định nghĩa đệ qui nhƣ sau, trong đó h, h'  H và c {c-, c+}:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(1) Sign(c) = -1, Sign(c ) = 1;

(2) Sign(hc) = -Sign(c) nếu h âm đối với c; Sign(hc) = Sign(c) nếu h

dƣơng đối với c;

(3) Sign(h'hx) = -Sign(hx), nếu h'hx hx và h' âm đối với h; Sign(h'hx) =

Sign(hx), nếu h'hxhx và h' dƣơng đối với h; (4) Sign(h'hx) = 0, nếu h'hx = hx.

Dựa trên hàm dấu này, chúng ta có tiêu chuẩn để so sánh hx và x.

Mệnh đề 2.2. Với bất kỳ h và x, nếu Sign(hx) = 1 thì hx > x; nếu

Sign(hx) = -1 thì hx < x và nếu hx = x thì hx = x.

Định nghĩa 2.9 Cho AX là một ĐSGT tuyến tính đầy đủ và fm là một độ đo tính mờ trên X. Ta nói ánh xạ  : X  [0,1] đƣợc cảm sinh bởi độ đo tính mờ fm nếu đƣợc định nghĩa bằng đệ qui nhƣ sau:

(1) (W) =  = fm(c-), (c-) =  – .fm(c-) = .fm(c-), (c+) =  +.fm(c+); (2)           ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( j Sign j j Sign i hi fm x hjx hjx fm x x j h Sign x x j h      ,

với mọi j, –qjp và j 0, trong đó:

 1 ( ) ( )( )  ,

2 1 )

(hjx  Sign hjx Sign hphjx   ;

(3) (c-) = 0, (c-) =  = (c+), (c+) = 1, và với mọi j thỏa –qj

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Khai phá luật kết hợp mờ: