2 Một số điểm và đường đặc biệt được xác định duy nhất với tam giác và tứ giác
2.3 Đường đối trung, điểm Lemoine
Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với trung tuyến qua phân giác tại cùng một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác. 3 đường đối trung của tam giác đồng quy tại điểm Lemoine của tam giác.
Điểm Lemoine còn được gọi là điểm symmedian (symmedian point) hoặc điểm Grebe.
Chứng minh:
Đây là một trường hợp riêng của hai điểm liên hợp đẳng giác và điểm Lemoine là điểm liên hợp đẳng giác của trọng tâm giác. Ta có một số kết quả sau liên quan đến đường đối trung và điểm Lemoine (Gọi trung điểm các cạnh tam giác làD, E, F; chân các đường đối trung là X, Y, Z; điểm Lemoine làL)
1. Đường đối trung xuất phát từ một đỉnh là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề của tam giác tỉ lệ thuận với độ dài hai cạnh. Quỹ tích này còn một đường thẳng nữa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tại đỉnh xuất phát của đường đối trung.
2. Đường đối trung xuất phát từ một đỉnh tam giác đi qua giao điểm của 2 tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tại 2 đỉnh còn lại.
3. Đường đối trung chia cạnh tam giác thành 2 đoạn tỉ lệ với bình phương 2 cạnh kề. 4. AX
AD =
2bc
b2+c2
5. Tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trên một cạnh của tam giác đến 2 cạnh kia nhỏ nhất khi điểm đó trùng với chân đường đối trung ứng với cạnh đó.
6. Tổng bình phương các khoảng cách từ một điểm bất kì trong tam giác đến 3 cạnh của nó nhỏ nhất khi điểm đó trùng với điểm Lemoine.
7. Điểm Lemoine là trọng tâm của tam giác hình chiếu ứng với nó trong tam giác ABC. 8. Diện tích tam giác hình chiếu của điểm Lemoine bằng 12S
3 ABC (a2+b2+c2)2.
9/.Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong một tam giác thì tam giác hình chiếu ứng với điểm Lemoine có tổng bình phương các cạnh nhỏ nhất. 10. a2−→ LA+b2−→ LB +c2−→ LC =−→ 0