3 Phương pháp giải qui hoạch phân tuyến tính
3.4.2 Các bước thuật tốn
Thuật tốn Béla Martos là sự vận dụng và mở rộng thuật tốn đơn hình Dantzig cho bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Thuật tốn cũng bắt đầu từ một phương án cực biên (lời giải cơ sở) tùy ý của bài tốn mà nĩ là một đỉnh của tập ràng buộc S. Tiếp đĩ, kiểm tra xem phương án hiện cĩ đã phải là phương án tối ưu hay chưa, bằng cách so sánh giá trị hàm mục tiêu tại đỉnh đĩ với giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh kề với nĩ. Nếu đúng thì dừng quá trình tính tốn. Trái lại, sẽ tìm một phương án cực biên mới tốt hơn (với giá trị hàm mục tiêu nhỏ hơn) mà nĩ là đỉnh kề với đỉnh trước đĩ. Quá trình này lặp lại cho tới khi tìm được đỉnh tối ưu hoặc phát hiện bài tốn cĩ lời giải tối ưu tiệm cận trên một cạnh vơ hạn của S (đi theo cạnh đĩ giá trị hàm mục tiêu giảm dần tới cận dưới hữu hạn hoặc vơ hạn).
Thuật tốn Béla Martos giải qui hoạch phân tuyến tính dựa trên lập và biến đổi bảng đơn hình (mở rộng) và gồm các bước sau:
Bước 0. Tìm một phương án cực biên ban đầu x0 với cơ sở J0 và B = {Aj, j ∈ J0} gồm m vectơ cột độc lập tuyến tính của A. Đặt pB = {pj : j ∈ J0}, qB = {qj : j ∈ J0}. Tính vectơ biến cơ sở xB = B−1b, khai triển Zk = B−1Ak, ước lượng 40k = (pB)TZk −pk, 400k = (qB)TZk −qk và 4k(x) =40
k −f(x)400
Bảng 3.3. Bảng đơn hình mở rộng
Bước 1. (Kiểm tra tối ưu). Nếu 4k(x) ≤ 0 với mọi k 6∈ J0 thì x0 là phương án tối ưu (Định lý 3.3): dừng thuật tốn. Trái lại, chuyển bước 2.
Bước 2.(Kiểm tra bài tốn khơng cĩ lời giải tối ưu hữu hạn). Nếu cĩ k 6∈ J0 sao cho 4k(x) > 0 và zik ≤ 0,∀i ∈ J0 thì bài tốn khơng cĩ lời giải tối ưu hữu hạn (Định lý 3.4): dừng tính tốn. Trái lại, chuyển sang bước 3.
Bước 3. (Tìm vectơ đưa vào cơ sở). Đưa vào cơ sở vectơ As(s 6∈ J0) sao cho
4s(x) = max{4k(x) : k 6∈ J0} > 0.
Bước 4. (Tìm véctơ đưa ra khỏi cơ sở). Loại khỏi cơ sở véctơ thứ r trong cơ sở B sao cho
zr0
zrs = min{zi0
zis : zis > 0, i = 1, . . . , m}= θ.
Bước 5. (Lập phương án cực biên mới). Xây dựng phương án x1 với
x1j = x0j −θzjs, j ∈ J0, 0, j 6∈ J0, j 6= s, θ, j 6∈ J0, j = s. (3.7)
Tập chỉ số cơ sở mớiJ1 = (J0\{ir})∪{s}. Tính các hệ số khai triển mới theo
zjk0 = zrk zrs , i = r zik −(zrk zrs)zis, i 6= r (3.8)
Với i = 1,2, . . . , m; k = 1,2, . . . , n
Lưu ý p(x), q(x),40k,400k (∀k 6= s) cũng được biến đổi theo qui tắc đơn hình: p(x) ←p(x)− zr0 zrs × 40s, q(x) ← q(x)− zr0 zrs × 400s. 40k ← 40k − zrk zrs × 40s, (k = 1,2, . . . , n, k 6= s),40s ← 0. 400k ← 400k − zrk zrs × 400s, (k = 1,2, . . . , n, k 6= s),400s ←0. Sau đĩ tínhf(x) = p(x) q(x),4k(x) = 40k−f(x)×400k với mọi k = 1,2, . . . , n. Trở lại thực hiện Bước 1 và tiếp tục thuật tốn cho tới khi nhận được lời giải tối ưu (Bước 1) hoặc phát hiện bài tốn khơng cĩ lời giải tối ưu hữu hạn (Bước 2) thì dừng quá trình giải.
Định lý sau khẳng định tính hữu hạn của thuật tốn Béla Martos
Định lý 3.5. Nếu bài tốn qui hoạch phân tuyến tính cĩ phương án và mọi phương án cực biên của bài tốn đều khơng suy biến thì thuật tốn Béla Martos sẽ cho phương án tối ưu (hữu hạn hay vơ cực) sau một số hữu hạn lần thay đổi phương án cực biên.
Ví dụ 3.6. Giải qui hoạch phân tuyến tính sau theo phương pháp Béla Martos.
f(x) = −x1 + 2x2 −1
x1 +x2 + 4 →min
với các điều kiện
x1 −6x2 ≤ 1, x1 −x2 ≤ 6, −x1 + 2x2 ≤ 6,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Hình 3.3: Ví dụ 3.6
Bước 0. Thêm biến bù x3, x4, x5 ≥ 0 để đưa các ràng buộc về dạng đẳng thức. Ta nhận được lời giải cơ sở x1 = (0,0,1,6,6)T. Biến cơ sở: x3, x4, x5. Biến phi cơ sở: x1, x2. Đặt k = 1. Lập bảng đơn hình ban đầu (bảng 3.1).
Vịng lặp k = 1. Cĩ 41(x) = 0,75 > 0 nên phương án x1 chưa tối ưu. Đưa A1 vào cơ sở thay cho A3. Biến đổi bảng đơn hình ta nhận được phương án cực biên mới x2 = (1,0,0,5,7)T và bảng đơn hình tiếp theo (Bảng 3.2).
Vịng lặp k = 2. Cĩ 42(x) = 1,2> 0 nên phương án x2 chưa tối ưu. Đưa A2 vào cơ sở thay cho A4. Biến đổi bảng đơn hình ta nhận được phương án cực biên mới x3 = (7,1,0,0,11)T và bảng đơn hình tiếp theo (Bảng 3.3).
Vịng lặp k = 3. Mọi 4k(x) ≥ 0 (k = 1,2,3,4,5) nên x3 = (7,1,0,0,12)T là phương án tối ưu. Vậy lời giải tối ưu của bài tốn là x∗ = (7,1)T với fmin = −0,5.
Bảng 3.5. Bảng đơn hình tiếp theo
Bảng 3.6. Bảng đơn hình tối ưu
Tĩm lại, chương này đã trình bày một số thuật tốn chính, hay được sử dụng trong qui hoạch phân tuyến tính. Đáng chú ý là các thuật tốn Charnes và Cooper (1962) đưa về qui hoạch tuyến tính, thuật tốn Gilmore và Gomory (1963) di chuyển từ đỉnh nọ tới đỉnh kia của đa diện lồi cho đến khi đạt tới đỉnh tối ưu, thuật tốn Dinkelbach (1962) dựa trên qui hoạch tham số và cuối cùng là thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960). Các thuật tốn được trình bày với đầy đủ cơ sở lý thuyết, các bước tính tốn cụ thể và nhiều ví dụ minh họa.
KẾT LUẬN
Luận văn đã đề cập tới bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, đĩ là bài tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm là tỉ số của hai hàm tuyến tính với các ràng buộc tuyến tính. Qui hoạch phân tuyến tính là một mở rộng trực tiếp của qui hoạch tuyến tính và là cơng cụ hữu ích trong lập kế hoạch sản xuất, tài chính và dịch vụ y tế, do đĩ thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và ứng dụng.
Luận văn đã trình bày những nội dung chính như sau:
1. Một số kiến thức cơ bản cần thiết về tập lồi và tập lồi đa diện, về hàm lồi (hàm lõm), các hàm lồi mở rộng (tựa lồi, giả lồi...) và tính chất của các hàm này.
2. Nội dung và ý nghĩa thực tiễn của bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Hàm phân thức cĩ tính chất đơn điệu (tăng hoặc giảm) theo từng phương và cực trị địa phương luơn là cực trị tồn cục. Từ đĩ cực trị của một hàm phân tuyến tính trên đa diện lồi luơn đạt tại một đỉnh của nĩ. Nêu các dạng hay gặp của bài tốn và nêu mối liên hệ với bài tốn qui hoạch tuyến tính. Tính chất nghiệm của bài tốn cĩ hai biến số.
3. Các phương pháp chính giải bài tốn qui hoạch phân tuyến tính. Khi tập ràng buộc của của bài tốn là đa diện lồi, thuật tốn Charnes và Cooper (1962) đưa về giải bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương, thuật tốn Gilmore và Gomory (1963), chuyển từ đỉnh nọ tới đỉnh kia của đa diện ràng buộc cho tới khi đạt tới đỉnh tối ưu, thuật tốn Dinkelbach (1962) dựa trên qui hoạch tham số và cuối cùng là thuật tốn kiểu đơn hình Béla Martos (1960). Nêu nhiều ví dụ số minh họa các thuật tốn.
Cĩ thể xem luận văn như bước tìm hiểu đầu tiên về bài tốn qui hoạch phân tuyến tính, một dạng bài tốn qui hoạch phi tuyến rất gần với qui hoạch tuyến tính, cả về lý thuyết lẫn thuật tốn giải.
Tác giả luận văn hy vọng sẽ cĩ dịp được tìm hiểu sâu hơn về nội dung, ý nghĩa thực tiễn và thuật tốn giải nhiều bài tốn tối ưu khác của lý thuyết qui hoạch tốn học trong tương lai.
Tài liệu tham khảo
[1] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, Các phương pháp tối ưu hĩa, NXB Giao thơng Vận tải Hà Nội, 1998.
[2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy,Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
[3] E. B. Bajalinov,Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Ap- plications and Software. Kluwer Academic Publishers 2003.
[4] M. S. Bazara et al, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms. 3rd Edition. A John Willey and Sons, Inc, Publication, 2006.
[5] G. B. Dantzig, M. N. Thapa, Linear Programming: Theory and Exten- sionn. Springer 2003.
[6] H. A. Eiselt, C. L. Sandblom Linear Programming and its Applications.