Phương trình đường thẳng - Tài liệu Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán cấp 3

Bài tập 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A

(

−1;2 , B 2; 0 , C

) ( ) (

−3;1

)

. Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích ∆ABM bằng 1

3^{diện tích ∆ABC.}

Bài tập 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có ba đỉnh thuộc đồ thị

( )

C của hàm số 1

y x

= . Chứng minh trực tâm H của ∆ABC cũng thuộc

( )

C .

Bài tập 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A

(

−1;2 , B 3; 4

) ( )

. Tìm điểm C trên đường thẳng d : x−2y+ =1 0 sao cho ∆ABC vuông tại C.

Bài tập 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông tại A với

( )

B −3; 0 , C 7; 0 ,

( )

bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r=2 10−5. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, biết điểm I có tung độ dương.

Bài tập 5. Trong mặt phẳng với hệ trục vuông góc Oxy, tìm điểm C thuộc đường thẳng x− + =y 2 0 sao cho ∆ABC vuông tại C với A 1; 2 , B

(

−

) (

−3; 3

)

Bài tập 6. Cho điểm A 1;1

( )

trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y=3 và điểm C trên trục hoành sao cho ∆ABC là tam giác đều.

Bài tập 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A

(

−1; 0 ,

)

B 1; 0

( )

và lấy điểm di động trên đường thẳng d : y=1. Hãy tính

2 2

MB ^{và tìm M sao cho}^MA k,

(

k 0

)

MB = > .

Bài tập 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B 3; 3 , C 2; 0

( ) ( ) ( )

. Hãy tìm tất cả các điểm M trên trục hoành Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài tập 9. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A 1; 3 , B 3;1 , C 2; 4

( ) ( ) ( )

. Tìm tất cả các điểm M∈Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.

Bài tập 10. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho tổng các khoảng cách từ P đến các điểm A và B là nhỏ nhất

(hay PA( +PB)

min

)

. Biết rằng:

a/ A 1;1 , B 2; 4

( ) (

−

)

. b/ A 1;2 , B 3; 4

( ) ( )

Bài tập 11. Tìm trên đường thẳng d : x+y=0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các điểm A và B là nhỏ nhất trong các trường hợp sau

a/ A 1;1 , B

( ) (

− −2; 4

)

. b/ A 1;1 , B 3; 2

( ) (

−

)

Bài tập 12. Cho điểm M 4;1

( )

và hai điểm A a; 0 , B 0; b

( ) ( )

với a, b>0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho

Tài liệu ôn tập học sinh giỏi toán 10 Ths. Lê Văn Đoàn a/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất

(

S_∆OAB min

)

b/ OA+OB nhỏ nhất. c/

2 2

1 1

OA +OB nhỏ nhất.

Bài tập 13. Cho điểm M 2;1

( )

và hai điểm A a; 0 , B 0; b

( ) ( )

với a, b>0 sao cho A, B, M thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm A, B sao cho:

a/ Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất

(

S_∆OAB min

)

. b/ OA+OB nhỏ nhất.

c/ 1₂ 1₂

OA +OB nhỏ nhất.

Bài tập 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho A 1; 2 , B 3; 4

(

−

) ( )

a/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A, B là ngắn nhất.

b/ Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA−NB là dài nhất. c/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho

(

IA+IB

)

_min.

d/ Tìm điểm J trên trục tung sao cho JA+JB

ngắn nhất.

Bài tập 15. Cho ba điểm A 0;6 , B 2;5 , M 2t

( ) ( ) (

−2; t

)

. Tìm tọa độ điểm M sao cho

(

MA+MB

)

_min. b/

max

MA−MB .

Bài tập 16. Cho ba điểm A 1;2 , B 2;5 , M 2t

( ) ( ) (

+2; t

)

. Tìm tọa độ điểm M sao cho

(

MA+MB

)

_min. b/ max MA+MB . c/ max MA−MB . d/ min MA−MB .

Bài tập 17. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, tìm quỹ tích điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A 1;2

( )

và khoảng cách từ M đến Ox luôn bằng nhau.

Bài tập 18. Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A 1;2 , B 3; 4

( ) ( )

. Tìm trên tia Ox một điểm P sao cho AP+PB là nhỏ nhất.

Bài tập 19. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng ∆₁: 3x−4y+12=0, ∆₂ : 12x+3y− =7 0.

Bài tập 20. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d : x₁ +y=1, d : x ₂ −3y+ =3 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d2 qua đường thẳng d1.

Bài tập 21. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác cân PRQ, biết phương trình cạnh đáy PQ : 2x−3y+ =5 0, cạnh bên PR : x+y+ =1 0. Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi qua điểm D 1;1

( )

Bài tập 22. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

( )

A 1;2 mà khoảng cách từ điểm M 2; 3

( )

và điểm N 4; 5

(

−

)

đến đường thẳng ấy bằng nhau.

Bài tập 23. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm P 2; 5

( )

và Q 5;1

( )

. Lập phương trình đường thẳng qua P cách Q một đoạn có độ dài bằng 3.

Bài tập 24. Phương trình hai cạnh một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là: 5x−2y+ =6 0;

4x+7y−21= 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác, biết trực tâm H trùng với gốc tọa độ.

Bài tập 25. Lập phương trình các cạnh ∆ABC nếu biết A 1; 3

( )

và hai đường trung tuyến có phương trình là x−2y+ =1 0 và y− =1 0.

Bài tập 26. Lập phương trình các cạnh của ∆ABC trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxy, nếu cho C

(

− −4; 5

)

và hai đường cao có phương trình 5x+3y− =4 0 và

3x+8y+13=0.

Bài tập 27. Lập phương trình các cạnh của hình vuông biết rằng hình vuông đó có đỉnh là

(

−4; 8

)

và một đường chéo có phương trình : 7x− +y 8 =0.

Bài tập 28. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho A 2; 3 , B 3; 2

(

−

) (

−

)

. Trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng d : 3x− − =y 8 0, diện tích ∆ABC bằng ³

2 ^{. Tìm tọa độ điểm C.}

Bài tập 29. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có M

(

−2;2

)

là trung điểm của BC, cạnh AB có phương trình: x−2y− =2 0, cạnh AC có phương trình: 2x+5y+3=0. Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC.

Bài tập 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 2;1 , B 0;1 , C 3; 5 , D

( ) ( ) ( ) (

− −3; 1

)

. Viết phương trình các cạnh của hình vuông có hai cạnh song song đi qua A và C và hai cạnh còn lại đi qua B và D.

Bài tập 31. Cho ∆ABC, cạnh BC có trung điểm M 0; 4 ,

( )

còn hai cạnh kia có phương trình là

2x+ −y 11=0 và x+4y− =2 0. Gọi C là đỉnh nằm trên đường thẳng x−4y− =2 0 và N là trung điểm AC. Tìm tọa độ B, C.

Bài tập 32. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho đường thẳng d : 2x+ − =y 4 0 và hai điểm

( ) ( )

M 3; 3 , N − −5; 19 . Hạ MK⊥d và gọi P là điểm đối xứng của M qua d. Tìm tọa độ điểm K và P. Tìm điểm A trên d sao cho AM+AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.

Bài tập 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A

(

−1;2

)

và B 3; 4

( )

. Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng: x−2y+ =1 0 sao cho ∆ABC vuông ở C.

Bài tập 34. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho điểm P 3; 0

( )

và hai đường thẳng:

d : 2x− − =y 2 0 và d : x₂ + + =y 3 0. Gọi d là đường thẳng qua P và cắt d , d₁ ₂ lần lượt ở A và B. Viết phương trình của d biết rằng PA=PB.

Tài liệu ôn tập học sinh giỏi toán 10 Ths. Lê Văn Đoàn

Bài tập 35. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có đỉnh A

(

− −1; 3

)

. Biết đường trung trực của AB là ∆: 3x+2y− =4 0 và trong tâm G 4; 2

(

−

)

. Tìm tọa độ đỉnh B, C.

Bài tập 36. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC biết đỉnh C 4; 1

(

−

)

và đường cao, đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là 2x−3x+12=0 và

2x+3y=0. Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài tập 37. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ba điểm A 2; 4 , B 3;1 , C 1; 4

( ) ( ) ( )

và đường thẳng d có phương trình: d : x− − =y 1 0. Tìm M∈d sao cho AM+MB nhỏ nhất. Tìm

N∈d sao cho AN+CN nhỏ nhất.

Bài tập 38. Cho ∆ABC có A 2; 1

(

−

)

và phương trình các đường cao là

2x− + =y 1 0, 3x+y+ =2 0. Lập phương trình đường trung tuyến của tam giác qua đỉnh A.

Bài tập 39. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC và đỉnh A 1;1

( )

. Các đường cao hạ từ B và C lần lượt nằm trên các đường thẳng d1 và d2 theo thứ tự có phương trình

2x y 8 0

− + − = và 2x+3y− =6 0. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa đường cao hạ từ đỉnh A và xác định tọa độ đỉnh B, C của ∆ABC.

Bài tập 40. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho ∆ABC có A 2; 1

(

−

)

và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt có phương trình: d : x_B −2y+ =1 0 và

d : x+y+ =3 0. Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.

Bài tập 41. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho ∆ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x+3y+ =1 0. Cạnh bên AB có phương trình x− + =y 5 0. Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M

(

−4;1

)

. Tìm tọa độ đỉnh C.

Bài tập 42. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm 5

M ;2 2    _  _  _

 ^{và hai đường thẳng có phương}

trình y ^x; y 2x 0 2

= − = . Lập phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng nói trên tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Bài tập 43. Viết phương trình ba cạnh của ∆ABC trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho biết đỉnh C 4; 3 ,

( )

đường phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là x+2y− =5 0 và 4x+13y−10=0.

Bài tập 44. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là 3x− −y 3 =0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài tập 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 I ; 0 2    _  _  _

 ^{, phương trình đường thẳng AB là}^x⁻^2y^{+ =}² ⁰^và^AB⁼^2A^D^{. Tìm tọa độ các}

Bài tập 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có AB=AC,

BAC=90 . Biết M 1; 1

(

−

)

là trung điểm cạnh BC và 2

G ; 0 3    _  _  _

 ^{là trọng tâm tam giác}

ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Bài tập 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 1; 0

( )

và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là: x−2y+ =1 0,

3x+ − =y 1 0. Tính diện tích tam giác ABC.

Bài tập 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 0;2

( )

và B

(

− 3;−1

)

. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.

Bài tập 49. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;1 , B 4; 3

( ) (

−

)

. Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Bài tập 50. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có các đỉnh A

(

−1; 0 , B 4; 0 , C 0; m

) ( ) ( )

với m≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

Bài tập 51. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 0;2

( )

và đường thẳng d : x−2y+ =2 0. Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC.

Bài tập 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I

(

−2; 0

)

và hai đường thẳng

d : 2x− + =y 5 0,d : x₂ + − =y 3 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho IA=2IB

Bài tập 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A

(

−1; 4 , B 4; 1 ,

) (

−

)

đường thẳng BC đi qua điểm 7

K ;2 3    _  _  ^{. Tìm toạ độ đỉnh C.}

Bài tập 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2; 3

( )

và hai đường thẳng d : x₁ +y+ =5 0,

d : x+2y− =7 0. Tìm toạ độ các điểm B trên d1 và C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G 2; 0

( )

Bài tập 55. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : x₁ −y=0 và

d : 2x+ − =y 1 0. Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.

Bài tập 56. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm 4 1 G ; 3 3    _  _

 ^{, phương trình đường thẳng BC là}^x⁻^2y^{− =}⁴ ⁰^{và phương trình đường thẳng}

BG là 7x−4y− =8 0.Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Bài tập 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng lần lượt có phương trình:

d : x+ + =y 3 0, d : x₂ − − =y 4 0, d : x₃ −2y=0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.

Tài liệu ôn tập học sinh giỏi toán 10 Ths. Lê Văn Đoàn

Bài tập 58. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x−4y− =2 0, cạnh BC song song với d. Phương trình đường cao

( )

BH : x+y+3=0 và trung điểm của cạnh AC là M 1;1

( )

. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Bài tập 59. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, với A 1; 1 , B 3; 5

(

−

) ( )

. Điểm B nằm trên đường thẳng d : 2x−y=0. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.

Bài tập 60. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 2;1

( )

, đường cao qua đỉnh B có phương trình x−3y− =7 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình

x+y+ =1 0. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác.

Bài tập 61. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2;2

( )

và các đường thẳng:

d : x+ − =y 2 0, d : x₂ + − =y 8 0. Tìm toạ độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Bài tập 62. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G

(

−2; 0 ,

)

phương trình các cạnh AB : 4x+y+14=0, AC : 2x+5y− =2 0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.

Một phần của tài liệu TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP 3 (Trang 44 -50 )