Phương phỏp PPHH thuộc loại bài toỏn biến phõn, song nú khỏc với cỏc phương phỏp biến phõn cổ điển như phương phỏp Ritz, phương phỏp Galerkin ... ở chỗ nú khụng tỡm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tỡm trong toàn miền xỏc định mà chỉ trong từng miền con thuộc miền xỏc định đú. Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toỏn mà miền xỏc định gồm nhiều miền con cú những đặc tớnh khỏc nhau, đặc biệt nú được ỏp dụng trong bài toỏn phõn tớch ứng suất thõn đập, trong nền khụng đồng chất.
Trỡnh tự gải bài toỏn bằng phương phỏp PTHH
a. Chia phần tử: Chia miền tớnh toỏn thành nhiều cỏc miền nhỏ gọi là cỏc phần tử. Cỏc phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn cỏc điểm nỳt. Cỏc điểm nỳt này cú thể là đỉnh của cỏc phần tử, cũng cú thể là một số điểm được quy ước trờn mặt (cạnh) của phần tử.
Thụng thường ta hay sử dụng cỏc loại phần tử như: - Phần tử thanh (Frame).
- Phần tử phẳng (Shell). - Phần tử khối (Solid).
Cỏc phần tử này được xem như chỉ nối với nhau ở một số điểm xỏc định trờn cỏc bề mặt hoặc trờn cỏc cạnh của phần tử (gọi là điểm nỳt). Thụng thường hàm xấp xỉ được biểu diễn bằng cỏc trị số của hàm tại cỏc nỳt, hoặc cú khi bằng cả cỏc trị số và đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt.
Hỡnh dạng cỏc điểm nỳt được lựa chọn sao cho cú khả năng xấp xỉ sỏt nhất hỡnh dạng mặt biờn của miền tớnh toỏn. Với bài toỏn đập trụ chống dạng bài toỏn khụng gian, người ta thường chọn phần tử khối hộp 6 mặt cho cỏc
phần tử nằm trong và khối hộp 6 nỳt cho cỏc phần tử nằm trờn biờn với cỏc điểm nỳt nằm tại cỏc đỉnh của cỏc phần tử.
b. Hàm xấp xỉ: Trong phạm vi của mỗi phần tử, ta giả thiết một dạng phõn bố cỏc định nào đú của hàm cần tỡm, cú thể là:
- Hàm chuyển vị; - Hàm ứng suất;
- Hàm chuyển vị và hàm ứng suất.
Thụng thường giả thiết cỏc hàm này là những đa thức nguyờn mà cỏc hệ số của đa thức được gọi là cỏc thụng số. Trong phương phỏp PTHH cỏc thụng số này được biểu diễn qua cỏc trị số của hàm và cú thể là cỏc trị số cỏc đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt của phần tử. Ở phương phỏp PTHH, hàm xấp xỉ thường được biểu diễn qua cỏc trị số của hàm và cú thể cả cỏc trị số của đạo hàm của nú tại cỏc điểm nỳt của phần tử. Chẳng hạn nếu hàm cần tỡm là chuyển vị thỡ cỏc hệ số của hàm xấp xỉ sẽ được xỏc định nhờ chuyển vị (chuyển vị thẳng và chuyển vị gúc xoay) và cỏc đạo hàm của chuyển vị của cỏc điểm nỳt tại cỏc phần tử. Như vậy cỏc hệ số của hàm xấp xỉ luụn cú ý nghĩa vật lý xỏc định và rất dễ thoả món cỏc điều kiện biờn của bài toỏn. Đú là một trong những ưu điểm nổi bật của phương phỏp PTHH so với cỏc phương phỏp xấp xỉ khỏc.
Tuỷ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong cỏc bài toỏn kết cấu ta thường chia ra làm 3 loại mụ hỡnh:
* Mụ hỡnh tương thớch: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Lagrange.
*Mụ hỡnh cõn bằng: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của ứng suất hoặc nội lực trong phần tử. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Castigliano.
* Mụ hỡnh hợp lý: Ứng với mụ hỡnh này ta biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riờng biệt. Hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn sử dụng mụ hỡnh này được thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Reisser – Hellinger.
Hầm xấp xỉ phải được chọn để đảm bảo được một số yờu cầu nhất định, Trước tiờn là phải thoả món được cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi.
Trong ba mụ hỡnh trờn thỡ mụ hỡnh tương thớch được sử dụng rộng rói hơn cả, cũn hai mụ hỡnh sau chỉ sử dụng cú hiệu quả trong một số bài toỏn nhất định. Do đú với bài toỏn phõn tớch ứng suất và biến dạng trong đập trụ chống ta dựng phương phỏp PTHH với mụ hỡnh tương thớch.
c. Thiết lập hệ phương trỡnh cơ bản của bài toỏn
Để thiết lập phương trỡnh cơ bản của bài toỏn giải bằng phương phỏp PTHH ta dựa vào cỏc nguyờn lý biến phõn. Từ cỏc nguyờn lý biến phõn ta rỳt ra được hệ phương trỡnh đại số tuyến tớnh dạng:
KΔ = F (2-7)
d. Xỏc định cỏc đại lượng cơ học cần tỡm khỏc
Dựa vào cỏc phương trỡnh cơ bản của lý thuyết đàn hồi sẽ xỏc định được cỏc đại lượng cần tỡm khỏc.