DCE thực hiện rời rạc đường cong biên để đơn giản hóa đường bao hình dạng ảnh đối tượng và thu được ít nhất các điểm lồi, cũng là các điểm nút của bộ xương. Nhóm tác giả sử dụng mối quan hệ giữa điểm nút của bộ xương và các đỉnh của đường bao. Xây dựng đa giác DCE từ các đỉnh lồi thu được.
Xương được xây dựng tiếp theo từ các cặp điểm nút thu được từ bước xây dựng đa giác DCE bằng thuật toán tham lam.
Coi đường cong biên của ảnh là một đa giác gồm n đỉnh, số đỉnh n đủ lớn để nghiên cứu sự phát triển của hình dạng.
2.1.1.1Định nghĩa
Định nghĩa 2.1: Đường bao (D)của tập D gồm k đường cong đơn đóng C1, ..., Ck. Hai điểm x và y là hai điểm nút nằm trên đường cong đóng Ci.
Với [x, y] biểu thị các đoạn đường bao đóng ngắn nhất Ci nối x và y. Để đơn
giản, giả định rằng hai điểm x và y được xác định duy nhất trên Ci [x, y]. Với
(x, y) ta biểu thị phân đoạn [x, y] mà không bao gồm hai điểm đầu cuối x và y.
Các điểm x0, ..., xn-1 trên đường cong đóng Ci tạo thành những phân đoạn nhỏ hơn của Ci nếu hai phân đoạn [xi, xi +1], [xi +1, xi +2] giao nhau tại {xi +1}, những đoạn không liên tục thì có những điểm giao cắt là rỗng và Ci là hợp của những đoạn này. Phân vùng Γ của đường bao ∂D là một chuỗi có trình tự phân vùng của những đường cong đóng đơn giản C1, ..., Ck.
Định nghĩa 2.2: Một phân đoạn [x, y] của một đường cong C trên đường bao ∂D. Điểm s là điểm xương của đoạn [x, y], tất cả các điểm sinh tạo ra điểm xương s trên đường bao ∂D là Tan(s) nằm trong đoạn [x, y]. Ký hiệu
arc(s, [x, y]) là đường cong nhỏ nhất của [x, y] có chứa Tan(s).
Hình 2.3: Đường đậm liên tục là cung ban đầu [x,y]. Cung [a,b] chính là arc(s,[x, y])=[a,b]. Xương là các đường đậm cách quãng
Định nghĩa 2.3: Cho một phân vùng Γ của đường bao ∂D của một tập được kết nối đơn giản D (∂D gồm có một đường cong đóng đơn giản), cắt tỉa xương được định nghĩa như là việc loại bỏ tất cả các điểm xương sS(D) có những điểm sinh của s nằm trên cùng đoạn của phân vùng. Chính xác hơn, xương được cắt tỉa được tạo thành từ tất cả các s điểm sS(D), sao cho
Tan(s) không chứa trong cùng một đoạn của phân vùng Γ.
Định nghĩa 2.4: Tiến trình đơn giản hóa đường cong DCE phân chia
trình tự với đa giác đầu vào P. {v1, …, vn} là đỉnh của P, {u1, …, um}⊂{v1, …, vn} là đỉnh lồi của Pn-ksao cho m ≤ n-k. Trên cấp n-k của phân chia Hn-k(P), P
Nếu đỉnh ui được xoá trong bước tiếp theo, (ví dụ, ui ∈ Pn-k - Pn- k+1), hoặc trở thành lõm (do xoá đi một trong những đỉnh ở bên cạnh) thì sau đó cung [ui-1, ui+1] được thay thế bởi cung [ui-1, ui], [ui, ui+1] trong Hn- (k+1)(P).
2.1.1.2Xây dựng đa giác DCE
Tất cả đường cong số đều có thể biểu diễn bởi một đa giác một cách hoàn chỉnh nên ta chỉ cần khảo sát các đa giác là đủ [2].
Trong hình 2.4: tính toán độ liên quan của các đỉnh với hình dạng đối tượng đã được đề xuất …: Tìm x sao cho quay AE xung quanh A và EF xung quanh E để EF và AE cùng hướng và độ dài cung FF’= BB’, nghĩa là:
angle(s1) + x = angle(s1) − (β − x ) (2.1)
và
l(s1)x = l(s2)(β − x ). (2.2)
Tại mỗi bước DCE, mỗi cặp cạnh s1, s2 kề nhau của đa giác sẽ được thay thế bởi cạnh s1Us2 nối điểm đầu s1 và điểm cuối s2 Sự thay thế được quy định theo giá trị K tính bởi công thức (2.3):
2 1 2 1 2 1 2 1 , , s l s l s l s l s s s s K (2.3) Trong đó:
s1, s2: là những cạnh kề nhau của đa giác ß(s1, s2): góc giữa s1và s2
l(s1), l(s2): là độ dài các cạnh s1 (AE), s2 (EF) đã được chuẩn hóa bằng cách chia cho tổng độ dài các cạnh của đa giác.
Giá trị K(s1, s2) càng lớn thì giá trị của cung nối s1, s2 càng lớn. Từ đó tại mỗi bước loại bỏ các cạnh có giá trị K(s1, s2) nhỏ hơn ngưỡng theta thì đỉnh đang xét i bị loại và độ đo của đỉnh sau i+1 và đỉnh trước i-1 sẽ được tính toán lại. Cuối cùng thu được đa giác với m đỉnh nhỏ hơn n đỉnh đối tượng đang xét. Các đỉnh lồi trên đường bao đối tượng sẽ tạo thành các cung và được gán nhăn tương ứng.
Như minh họa trong hình 2.6 dưới đây thể hiện các đa giác (màu đỏ) được đơn giản bởi kỹ thuật DCE với các ngưỡng khác nhau.
Hình 2.6: Bộ xương của lá với các ngưỡng khác nhau
Trình tự bộ xương của lá thu được bằng cách cắt tỉa bộ xương đầu vào (phía trên bên trái) với sự chú ý đoạn đường biên thu được bởi DCE. Đường nét bên ngoài (màu đỏ) thể hiện đơn giản hóa đường biên với DCE.
Kỹ thuật DCE phân chia đường bao đường bao đối tượng một cách trình tự thành một tập hữu hạn các đường cong. Trong mỗi bước một véctơ nhỏ nhất không thỏa mãn điều kiện ngưỡng theta được loại bỏ. Kỹ thuật cắt tỉa đề xuất có thể được áp dụng cho mặt phẳng D, với đường bao ∂D là các đường cong kín.
DCE có thể loại bỏ hiệu quả nhiễu và từng phần không quan trọng của ảnh, nhưng cần xác định một tham số dừng. Nói cách khác, tìm kiếm k để đa
giác được đơn giản hóa Pn-k miêu tả chi tiết những đường biên đầu vào. Để định lượng mức độ chi tiết, nhóm tác giả xác định khoảng cách trung bình Pn-k
giữa điểm gốc của P và đường phân đoạn tương ứng của nó trong Pn-k.
Đưa ra giới hạn T, có thể dừng DCE nếu Dav(Pn-k) > T cho một vài k. Cho một chuỗi các giá trị T, chúng ta có thể có được một trình tự của đơn giản hóa đường biên đa giác DCE, dẫn đến trình tự của những xương tương ứng. Nói chung, điều kiện dừng thích hợp phụ thuộc vào ứng dụng cụ thể.
2.1.1.3Cắt tỉa xương dựa trên DCE
Trước khi tìm hiểu tổng quát việc cắt tỉa xương dựa trên kỹ thuật DCE ta xét ví dụ đơn giản minh họa cho việc cắt tỉa xương dựa trên đa giác có 11 đỉnh trong đó có 6 đỉnh lồi và 5 đỉnh lõm được thể hiện trong hình 2.7 dưới đây.
Hình 2.7: Minh họa cắt tỉa xương
Để đơn giản ta tiến hành cắt tỉa với hai đỉnh lồi a và b. Như đã thấy, sau bước đơn giản hóa đường bao nhóm tác giả thu được một bộ đỉnh lồi,
đồng thời cũng là các điểm nút của bộ xương. Mục tiêu của bước này sẽ là cách thức xây dựng các điểm xương nối a và b.
Gọi xi là điểm xương tại bước I (ban đầu x1 = a). Gọi N(xi) là tập hợp 8 điểm láng giềng của xi, gọi C1 và C2 là hai phần của đường cong C ban đầu được chia bởi a và b. Gọi d1 và d2 là khoảng cách ngắn nhất của các điểm thuộc N(xi) (các điểm này không thuộc các điểm từ x1 đến xi) đến C1 và C2. Từ đây chọn ra điểm từ N(xi) thỏa mãn:
xi + 1 = 𝑎𝑟𝑔𝑥𝑘min|d1 – d2| (2.4)
Gọi N là số đỉnh lồi, xây dựng các đường xương từ đỉnh lồi i+1 đến đỉnh I (i=1, 2, …, N-1). Bộ xương cuối cùng sẽ là tập hợp các đường xương này. Quá trình xây dựng kết thúc khi đường xương mới trùng với đường xương đã được tạo từ trước.
Tìm xương, như hình 2.8 đầu tiên vẽ đường xương từ đỉnh 2 đến đỉnh 1
(đường cung đỏ), sau đó xây dựng đường xương từ đỉnh 3 đến đỉnh 2. Quá trình kết thúc vì đường này (màu trắng) gặp đường ban đầu (màu đen).
Tổng quát, cho một bộ xương S(D) của một mặt phẳng D và đưa ra một DCE đa giác đơn giản Pk, thể hiện cắt tỉa xương bằng cách di chuyển tất cả những điểm s∈ S(D), như vậy tạo ra những điểm tăng trưởng Tan(s) của s
chứa trong cùng đoạn DCE mở. Mỗi điểm cắt tỉa s là kết quả từ phần đường biên cục bộ với phân chia DCE, và do đó s có thể được coi như là điểm xương không quan trọng và có thể loại bỏ. Quá trình làm đơn giản đường biên với DCE đã hoàn thành cắt tỉa nhánh của xương. Đặc biệt, loại bỏ một đỉnh lồi v
từ Pn-k tới Pn-(k+1) bởi DCE, tức là hoàn thành loại bỏ những nhánh xương mà kết thúc tại v.
Trong hình 2.9 minh họa việc sử dụng DCE thu được một hình đa giác với 7 đỉnh và xương của đối tượng được cắt tỉa dựa trên đa giác đó. Chỉ có 5 nhánh xương kết thúc tại 5 đỉnh lồi của đa giác đơn giản. Việc cắt tỉa xương được tính toán dựa trên sự chú ý đoạn DCE (A, C), (C, D), (D, E), (E, F), (F, A).
(a) (b) (c)
Hình 2.9: Minh họa cắt tỉa xương với DCE
Hình 2.9 (a) đưa ra một đa giác đơn giản với 7 đỉnh (màu đỏ) xương thu được dựa trên đa giác này. Nhánh xương màu xanh (kết thúc tại C) còn lại vì nó có những điểm tăng trưởng trên hai cung khác nhau BC và CD của
đường biên gốc. Nhánh xương màu xanh trong (b) không thuộc về xương được xác định bởi đa giác DCE khi nó kết thúc tại đỉnh lõm P. Trong (c) nó được loại bỏ bởi đơn giản hóa DCE.
Nhóm tác giả thực hiện phân tích đoạn DCE dựa trên các đỉnh lồi bởi khi một đỉnh lồi trở thành một đỉnh lõm trong tiến trình tìm xương, thì những nhánh xương kết thúc tại đỉnh đó được loại bỏ. Cách tiếp cận này cho phép loại bỏ những nhánh nhỏ trong quá trình DCE.
Phân chia đường bao và mỗi phân chia đó làm giảm các đỉnh của đa giác, kết quả có một nhánh xương kết thúc tại mỗi điểm phân chia. Với mỗi đỉnh lồi v của đa giác, nhóm tác giả tính toán khoảng cách Dl(v) giữa v và đỉnh lõm u gần nhất như đoạn vu là trong hình nếu như đỉnh u tồn tại. Sau đó loại bỏ đỉnh có giá trị thấp nhất của phép đo liên quan mới Dl(v).
Hình 2.10 minh hoạ hiệu quả của loại bỏ đỉnh lồi v với phép đo liên quan Dl(v). Có năm nhánh xương ngắn (màu xanh) kết thúc tại A, B, C, D, E
của hình 2.10 (a) được loại bỏ trong hình 2.10 (b). Nó dẫn tới phân chia đường biên với 6 đỉnh lồi được đánh số 1 ÷ 6 trong hình 2.10(b).
(a) (b)
Tóm lại, đỉnh Vf được sử dụng cho việc phân chia đường biên bởi DCE được tính toán như sau:
Vf= Vs − (Vlõm∪ Vl ). (2.5)
Trong đó:
Vs: chỉ ra tất cả đỉnh của đa giác P thu được bởi DCE
Vlõm: chỉ ra tất cả đỉnh lõm của Vs
Vl: chỉ ra đỉnh Vsvới giá trị thấp của phép đo Dl