Chương bảy : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU CƠ BẢN
8.2.2 Đường tròn:
Hình chiếu vuông góc của đường tròn nói chung là một elip. Với trục dài là hình chiếu của đường kính đường tròn song song với mặt phẳng hình chiếu tương ứng. Do đó trục dài của elip bằng đường kính của đường tròn được chiếu. Cặp đường kính liên hợp của đường tròn là cặp đường kính vuông góc nhau. Ví dụ: Hãy vẽ hình chiếu của
đường tròn tâm O, bán kính R thuộc mặt phẳng α vuông góc P2.
Giải: Hình chiếu đứng của đường tròn tâm O , bán kính R là đoạn thẳng C2D2 = 2R và C2D2 ∈ α2. Có thể xem đây là một elip với trục dài C2D2 và trục ngắn bằng 0.
Hình chiếu bằng đường tròn là elip, tâm O1, trục dài A1B1 = 2R , hình chiếu của đường kính AB song song mặt phẳng hình chiếu bằng P1. Trục ngắn là C1D1 vuông góc A1B1.
Ví dụ: Hãy vẽ hình chiếu của đường tròn tâm O, bán kính R thuộc mặt phẳng α (h,f).
Giải: Trên hình-8.7 vẽ hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một
Hình-8.5 Hình-8.6 D2 A1 B1 D1 C1 O1 C2 A2≡B2≡O2 α2 x (c) (c') t t' P
Đường tròn nằm trong mặt phẳng α
(h,f). Tâm O và bán kính r là những yếu tố đã cho. Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường tròn được biểu diễn là các elip.Elip hình chiếu bằng có trục dài song song với h và bằng 2 r. Elip hình chiếu đứng có trục dài song song f và bằng 2 r . Để xác định các trục ngắn của các ellip đó ta gập mặt phẳng đến trùng P1. Hình chiếu bằng của đường tròn sau khi gập là đường v’1 và dựa vào đường tròn nầy ta suy ra trục ngắn của các ellip hình chiếu. Trên hình vẽ cũng chỉ rõ cách vẽ hình chiếu bằng một điểm M bất kỳ của đường tròn.
8.3-CÁC ĐA DIỆN TRONG KHÔNG GIAN:
8.3.1-Các khái niệm và qui tắc biểu diễn:
Đa diện là một mặt kín tạo thành bởi các đa giác phẳng gắn liền với nhau bởi các cạnh (H-8.8). Các đa giác tạo thành đa diện gọi là các mặt của đa diện. Các cạnh và các đỉnh của đa giác gọi là các cạnh và các đỉnh của đa diện. Nhiều khi người ta cũng gọi vật thể giới hạn bởi các mặt của đa diện là đa diện. Để tránh nhầm lẫn ta thống nhất đa diện là một mặt. Như vậy các mặt hình tháp, hình lăng trụ ,.. .là các đa diện đặc biệt.
Để biểu diễn một đa diện ta chỉ cần biểu diễn các cạnh hoặc các đỉnh của đa diện đó. Chú ý các cạnh nằm bên trong các đường bao trên hai hình chiếu phải được xét thấy khuất.
8.3.2-Biểu diễn tứ diện :
Hình-8.9 biểu diễn một tứ diện SABC. Trên hình chiếu đứng đường gẫy khúc kín S2A2B2C2 là đường bao quanh hình chiếu đứng, trên hình chiếu bằng đường gẫy khúc kín S1B1A1C1 là đường bao quanh hình chiếu bằng .
Hình-8.8 f'2 v1 f2 h2 v2 O2 f1 h1 v'1 O'1 O1 M'1 M1 Hình-8.7
Các cạnh S1A1, B1C1 ở hình chiếu bằng và S2B2,A2C2 ở hình chiếu đứng được xét thấy khuất nhờ các điểm cùng tia chiếu đứng và cùng tia chiếu bằng như đã biết.
Giả sử biết M2 của điểm M thuộc tứ diện, hãy vẽ M1. Dễ thấy có hai điểm M mà các hình chiếu đứng của chúng trùng nhau , một mặt thuộc SAB, một mặt thuộc SAC. Aïp dụng bài toán cơ bản thuộc các mặt phẳng trên, ta vẽ đường SM chẳng hạn. Ở hình chiếu bằng thấy rõ hai điểm M1 và M’1.
8.3.3-Biểu diễn mặt tháp :
Biểu diễn một mặt tháp khi biết mặt phẳng đáy, chiều cao và các chân. Hình-1.8 cho ví dụ về việc biểu diễn một mặt tháp mà mặt đáy xác định bởi hình vuông có tâm là O và một cạnh nằm trên đường bằng h.
Để xây dựng hình vuông ta có thể sử dụng các phép biến đổi đã biết , như phép gập đã nói ở các phần trên. Ở đây sẽ sử dụng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng đưa mặt phẳng đáy trở thành chiếu đứng khi chọn trục x’ vuông góc với hình chiếu bằng đường bằng h1.Cách dựng các cạnh của hình vuông, đỉnh của mặt tháp và việc xác định các hình chiếu ban đầu của các điểm S,A,B,C,D được chỉ rõ trên hình-8.10. Hình vẽ cũng trình bày một điểm M thuộc mặt tháp.
8.3.4-Biểu diễn mặt lăng trụ :
Hình-8.9 S2 A2 B2 C2 M2≡M'2 C1 A1 B1 S1 M'1 M1 h2 Hình-8.10 S2 C2 A2 B2 D2 O2 S1 S'1 A1 D1 C1 B1 O1 h1 x' α'1
n Hoàn toàn tương tự như đối với mặt tháp. Hình-8.11 trình bày cách dựng một mặt lăng trụ biết đáy ABC thuộc mặt phẳng P1 và một cạnh CD , đồng thời lăng trụ nầy có mặt đáy thứ hai DEF vuông góc với các cạnh. Phương pháp sử dụng đơn giản là đưa các cạnh của lăng trụ thành đường mặt nhờ phép thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng mới. Hình vẽ cũng chỉ rõ các hình chiếu của một điểm M thuộc lăng trụ đã cho.