Chứng minh tính đúng đắn của thuật toán:

Để chứng minh tính đúng của thuật toán trên, ta sử dụng các bổ đề sau

Bổ đề 1:

Với mọi w=1,2,..., 2r-1 thoả mãn w  2r-1 ta có:

) ( ) ( 2       w w S r S Chứng minh: Với w  2r-1 giả sử Sw = .

Từ định nghĩa của ma trận trọng số ta suy ra tồn tại ít nhất một phần tử W[j,k]=w, do đó ta phải có Fi[j,k] ^ K[j,k]=1 vì nếu không khi ta đảo Fi[j,k] sẽ được giá trị 1 dẫn đến tổng Sum((Fi K)  W) sẽ tăng lên w và do đó Sw không rỗng (trái giả thiết).

Do đó Fi[j,k] ^ K[j,k]=1. Nếu ta đảo giá trị của Fi[j,k] thì Sum sẽ giảm đi w hay tăng lên 2r -w (mod 2r ), suy ra tập S2rw  Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 2: Tập hợp S2r1 khác rỗng . Chứng minh:

Từ định nghĩa 1 ta suy ra tồn tại ít nhất một phần tử W[j,k] của ma trận W nhận giá trị 2r-1. Mặt khác ta có 2r-1  -2r-1 (mod 2r) nên nếu ta đảo giá trị của Fi[j,k] thì Sum sẽ tăng lên hoặc giảm đi 2r-1 do đó bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 3:

Bước 4 luôn luôn thực hiện được và nhiều nhất hai bit của Fi bị đảo để dấu

được r bit dữ liệu. Tức là luôn luôn tìm được h sao cho Shd và S-(h-1)d khác rỗng với mọi d nhận giá trị từ 0 tới 2r

-1.

Chứng minh:

Áp dụng định lý số học với mọi cặp số nguyên tố cùng nhau d1, d2, mọi x=1,2,..d2-1 luôn tồn tại m,n sao cho md1=nd2+x hay md1 x(mod d2) ta suy ra tập hợp {d mod 2r , 2d mod 2r ,.... } chứa tất cả và chỉ chứa các bội nhỏ hơn 2r của ước số chung lớn nhất của d và 2r (với d =0,..., 2r

-1).

Mặt khác 2r-1 là bội của ước chung lớn nhất của d và 2r

nên tồn tại một số nguyên k sao cho kd2r-1(mod 2r) giả sử k là số nguyên nhỏ nhất thoả mãn điều này.

36

Ta đi tìm h thoả mãn Shd  và S-(h-1)d . Với h=1, nếu Sd  thì h=1 là lời giải và bước 4 được thực hiện, nếu không thì S-d  (theo bổ đề 1). Với h=2, nếu S2d

 thì h=2 là lời giải , nếu không thì S-d theo bổ đề 1. Tiếp tục làm như vậy với h=3,4,...k-1, nếu vẫn chưa tìm được h thoả mãn thì ta có thể khẳng định là h=k là lời giải vì khi đó Skd=S2r-1 khác rỗng.

Vậy bổ đề được chứng minh.