3 Sự tồn tại nghiệm của một hệ phản ứng các chất Xúc tác-Ức chế
3.4.4Ước lượng toàn cục
VớiU0 ∈ K,choU(t) = U(t, U0)là nghiệm toàn cục của Bài toán (3.5) trong Không gian hàm (3.14) với giá trị ban đầu U0.Khi đó các Ước lượng (3.12), (3.13) cũng đúng cho nghiệm toàn cục.
Kết Luận
Sử dụng phương pháp nửa nhóm, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của Hệ (3.2) trong trường hợp Ω là miền bị chặn với biên thuộc lớp C2 hoặc là một miền lồi, bị chặn trong R3, không gian giá trị ban đầu là
K= ( u0 v0 ! : 0≤u0 ∈H34(Ω), 0< v0 ∈H34(Ω), ess.infΩv0 >0 ) .
Các hệ số a, b, c, σ của hệ được giả định thỏa mãn các điều kiện c > 1 +σ 2 , 2c−2√ c2−σ σ < 3ab a2+b2−ab.
Đây là một kết quả mới. Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, nhiều vấn đề lý thú như xây dựng hệ động lực, nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dừng thuần nhất,...v.v. chưa được đề cập tới trong luận văn này.
Tài liệu tham khảo
[1] R. A. Adams and J. F. Fourier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003.
[2] K. Engel and R. Nagel,A Short Course on Operator Semigroup, Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[3] L. C. Evans,Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998. [4] A. Gierer and H. Meinhardt, A theory of biological pattern formation,Kybernetik
12(1972), 30-39.
[5] P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985. [6] K. Masuda and K. Takahashi, Reaction-diffusion systems in the Gierer-Meinhardt
theory of biological pattern formation, Japan J. Appl. Math. 4(1987), 47-58. [7] H. Meinhardt,Models of Biogical Pattern Formation, Academic Press, 1982. [8] M. D. Li, S. H. Hua and Y. C. Qin, Boundedness and blow up for the general
activator-inhibitor model, Acta Math. Appl. Sinica. 11(1995), 59-68.
[9] H. Jiang, Global existence of solutions of an activator-inhibitor system, Discrete contin. Dyn. Syst.14(2006), 681-732.
[10] M. Renardy and R. C. Rogers,An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 2004.
[11] F. Rothe, Global existence of Reaction-Diffusion Systems, Lecture Notes in Math 1072, Springer-Verlag, Beclin, 1984.
[12] E.M. Stein, Singular Integrals and Differentiability, Princeton University Press, Princeton, 1970.
[13] H. Triebel, Interpolation Theory, Fuction Spaces, Differential Operators, North- Holland, Amsterdam, 1978.
[14] Atsushi Yagi, Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer-Verlag, Beclin, 2010