ĐỒN CÁT NHƠN-Giáo viên Trường THCS Nhơn Lộc-An Nhơn-Bình Định. Tham gia gửi bài viết mục “ GIẢI TỐN QUA THƯ ”
Bài tốn: ( Sáng tác ).
Tồn tại hay khơng các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: ( x + y )2 – x5 = y3 –z 3. (1) Bài giải:
Phương trình (1)⇔ y2.(y – 1) + x2.(x – 1)(x2 + x + 1) – 2xy = z3.
Do vế trái (VT) chia hết cho 2 nên z3M 2 ⇒ z M 2 ⇒ z = 2 (do z nguyên tố). Phương trình (1) trở thành: ( x + y )2 + 8 = y3 + x5. (2)
* Với y = 3k +1, xét các trường hợp sau: + Nếu x = 3m thì VT M 3; VP M 3. + Nếu x = 3m + 1 thì VT M 3; VP M 3. + Nếu x = 3m – 1 thì VT M 3; VP M 3.
* Lập luận tương tự với y = 3k – 1 đều khơng tồn tại x.
Vậy y = 3k ⇒ y = 3 (do y nguyên tố). PT (1)⇔(x + 3)2 – x5 = 33 – 23 (3)
⇔x.(- x4 + x + 6) = 10.
⇒ 10M x ⇒ x = 2; x = 5 ( do x nguyên tố).
Thử lại thấy khơng thỏa mãn (3) do đĩ khơng tồn tại các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Chú ý: Từ x.(- x4 + x + 6) = 10. cĩ thể lập luận VT < 0 với mọi x ≥ 2, VP >0. Vậy phương trình vơ nghiệm.
KÍNH GỬI TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ.
ĐỒN CÁT NHƠN-Giáo viên Trường THCS Nhơn Lộc-An Nhơn-Bình Định. Tham gia gửi bài viết mục “ GIẢI TỐN QUA THƯ ”
Bài tốn:
Cho đường trịn tâm (O) và dây BC( BC khác đường kính) cố định. Qua điểm A di động trên cung lớn BC kẽ đường kính AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC; các điểm M, N, P lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm D xuống các cạnh của tam giác HBC. Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp của tam giác MNP đi qua một điểm cố định.
Bài giải:
Để cho gọn, trước hết xin chứng minh bài tốn phụ sau:
Cho hình bình hành ABCD ( µB 90> 0). Các điểm M, N, P lần lượt là hình chiếu của D xuống các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, O, P cùng thuộc một đường trịn. ( Với O là giao của hai đường chéo ).
Thật vậy: Ta cĩ: · · · · · · POB 2PDB PON 2PDN BON 2BDN = ⇒ = = Mà ·PDN 180= 0−·PBN BAD=· B D C A N M P O
nên suy ra ·PON 2BAD= · (1).
Ta lại cĩ: MNCD và MDAP là các tứ giác nội tiếp nên:
· · · · · · · · · · 0 0 0 NMC NDC 90 BCD 2BAD 180 (NMC PMA) PMN PMA PDA 90 BAD
= = − ⇒ = − + = = = − (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác POMN nội tiếp ( đpcm).
Trở lại bài tốn, dễ chứng minh BHCD là hình bình hành nên ta cĩ 4 điểm M, N, P và trung điểm I của BC cùng nằm trên một đường trịn. Vì I cố định nên ta cĩ điều cần chứng minh.
KÍNH GỬI TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ.
ĐỒN CÁT NHƠN-Giáo viên Trường THCS Nhơn Lộc-An Nhơn-Bình Định. Tham gia gửi bài viết mục “ THÁCH ĐẤU”
Bài tốn: (sáng tác)
Giải phương trình sau trong tập hợp số nguyên tố xy 1+ +2z t3 + =4 4193. (1) Bài giải:
Trước hết ta cĩ các tính chất sau: Với mọi số nguyên x thì: + x2k chia 4 dư 0 hoặc 1, với k ∈Ν . (a)
+ x3 chia 9 dư 0; 1 hoặc - 1. (b)
Trở lại bài tốn: Do vế phải lẻ ⇒ xy 1+ và t4 khác tính chẵn lẻ ⇒x và t khác tính chẵn lẻ.