III. Sơ lược về phương trỡnh và hệ phương trỡnh đồng dư bậc nhất một ẩn
b)Tớnh chất nghiệm: Nếu x0 là một số thoả món cỏc phương tỡnh trờn thỡ x ≡ x 0(mod m1.m2 mn) cũng thoả món cỏc phương trỡnh trờn.
c) Điều kiện nghiệm: Hệ trờn cú nghiệm khi và chỉ khi (mi, mj)|(bi - bj) với mọi i ≠ j và i, j = 1, 2, ...,n. i ≠ j và i, j = 1, 2, ...,n.
d) Tỡm nghiệm: Xột hệ trờn với (mi, mj) = 1 với mọi i ≠ j và i, j = 1, 2, ...,n.. Khi đú, nếu x0 thoả món hệ thỡ nghiệm của hệ là x ≡ x0 ( mod m1.m2...mn). đú, nếu x0 thoả món hệ thỡ nghiệm của hệ là x ≡ x0 ( mod m1.m2...mn).
Vớ dụ 1: (khi cỏc đồng dư mi khỏ nhỏ). Giải cỏc hệ phương trỡnh:
a) ( x ≡ 2(mod 3), x ≡ 3(mod 5), x ≡ 4(mod 7))-Bài toỏn Hàn Tớn điểm binh.b) Tỡm số nguyờn dương x > 2008 nhỏ nhất cú tớnh chất: x chia 2 dư 1, x b) Tỡm số nguyờn dương x > 2008 nhỏ nhất cú tớnh chất: x chia 2 dư 1, x
HD:
a) Từ phương trỡnh x ≡ 4 (mod 7) ta được: x= 7t + 4.
Tỡm x0 bằng cỏch nhập hàm A = 7X + 4 với X = 1, 2, 3, ...kiểm tra: (A – 2) ữ 3; (A - 3) ữ 5. Đến khi tỡm được số A thoả món: 3|(A – 2), 5|(A – 3) thỡ x0 = A là giỏ trị cần tỡm.
Ta tỡm được: x0 = A = 53. Vậy hệ cú nghiệm x ≡ 53(mod 105).
b) Số x cần tỡm thoả món hệ: ( x ≡ 1(mod 2), x ≡ 2(mod 3), x ≡ 4(mod 5), x ≡ 6 (mod 7)).
Từ x ≡ 6 (mod 7) ta được: x = 7t + 6.
Tỡm x0 bằng nhập hàm A = 7X + 6 với X = 1, 2, 3... Và kiểm tra (A – 1) ữ 2, (A – 2) ữ 3, (A – 4) ữ 5 đến khi 2|(A – 1), 3|(A – 2), 5|(A – 4).
Ta tỡm được: x0 = A = 104. Vậy x ≡ 104(mod 210) ⇒ x = 104 + 210t, t∈N. x > 2008 ⇔ 104 + 210t > 2008 ⇔ t > 9. Vậy t nhỏ nhất bằng 10 và x nhỏ nhất
Vớ dụ 2: ( Khi cỏc đồng dư mi cú giỏ trị lớn). Giải hệ phương trỡnh: (x ≡ 65 (mod 99), x ≡ 5 (mod 98), x ≡ 51 (mod 97), x ≡ 10 (mod 95))
HD: Trường hợp này ta phải dựng kết quả của định lớ đồng dư Trung Quốc:
Xột hệ x ≡ b1 (mod m1) (1), x ≡ b2 (mod m2) (2) ,..., x ≡ bn (mod mn) (n) với m1, m2, ..., mn nguyờn tố cựng nhau đụi một:
+ Bước 1: Đặt Mk = (m1.m2...mn)/mk.
+ Bước 2: Tỡm yk thoả món: Mk.yk ≡ 1(mod mk).
+ Lập tổng x0 = b1.M1.y1 + b2.M2.y2 +...+bn.Mn.yn thỡ x0 là một giỏ trị thoả món hệ phương trỡnh.
Áp dụng vào bài toỏn ta được: M1 = 903070, y1 = 37; M2 = 912285, y2 = 33; M3 = 921690, y3 = 24; M4 = 941094, y1 = 4 ⇒ x0 = 3488202695. Vậy nghiệm của hệ là: x ≡ 1449425(mod 89403930).
Bài tập ứng dụng: Giải cỏc hệ phương trỡnh đồng dư sau:
1) (x ≡ 1(mod 99), x ≡ 2(mod 98), x ≡ 3(mod 97), x ≡ 4(mod 95)).
2) x≡2(mod 11), x≡3(mod 12), x≡4(mod 13), x≡5(mod 17), x≡6(mod 19)). 3) x ≡ 7(mod 9), x ≡ 2(mod 10), x ≡ 3(mod 12), x ≡ 6(mod 15)).