Ước lượng điểm phân vị

Ước lượng điểm phân vị cho phép tính VaR theo phương pháp phi tham số. Phương pháp giả định phân phối của lợi suất của danh mục là phân phối không đặc trưng trừ khi phân phối này tiếp tục được giữ trong suốt thời kỳ dự báo. Có hai phương pháp tính điểm phân vị.

- Phương pháp sử dụng trực tiếp điểm phân vị thực nghiệm. - Phương pháp hồi quy điểm phân vị.

Trong phần này tôi chỉ đề cập phương pháp ước lượng điểm phân vị thực nghiệm.

2.1. Giả định của phương pháp

Phân phối của lợi suất thời kỳ dự báo là tương tự như thời kỳ mẫu, phân phối của lợi suất có thể sử dụng điểm phân vị thực nghiệm lợi suất rtđể tính VaR. Đặt r1,...rn là lợi suất của danh mục đầu tư trong thời kỳ mẫu.

Thống kê theo bậc của mẫu là những giá trị được sắp xếp theo chiều tăng dần. Chúng ta sử dụng kí hiệu: r( ) ( )1 ≤ r 2 ≤...≤r( )n ; để biểu thị sự xắp xếp và chỉ ra r( )i

là thống kê bậc thứ i của mẫu. Trường hợp đặc biệt r(1) là mẫu nhỏ nhất và r(n) là mẫu lớn nhất.

Giả định rằng những lợi suất này là những biến số ngẫu nhiên độc lập và phân phối một cách đồng nhất. Những lợi suất này có phân phối liên tục với hàm mật độ xác suất (pdf) : f(x) và hàm phân phối tích lũy (CDF) : F(x). Khi đó, chúng ta có kết quả gần đúng từ tài liệu thống kê, thống kê bậc r() với =n.p, trong đó 0<p<1.

Kết quả: Đặt xplà phân vị thứ p của F(x); xp=F−1( )p . Giả định rằng hàm mật độ xác suất f( )x ≠ 0 tại xp: f( )xp ≠0. Thống kê bậc r() là xấp xỉ chuẩn với giá trị trung bình xp và phương sai [n f ( )xp ]

p p 2 . ) 1 ( −

. Điều này có nghĩa: r( ) ∼

( )[ ] [ ]      − p p x f n p p x N ; (12 ) ; = n.p (2.3)

Dựa trên kết quả trước có thể sử dụng r() để ước lượng điểm phân vị xp; ở

đây =n.p. Trong thực tế, xác suất p của lợi suất có thể không thỏa mãn n.p là một số nguyên dương. Trong trường hợp này, sử dụng phép nội suy giản đơn để thu được ước lượng của điểm phân vị. Đặc biệt hơn, n.p là số không nguyên. Đặt 1 và 2 là hai số

dương lân cận với 1< n.p < 2. Xác định

n

p i

i



= . Kết quả trước chỉ ra rằng, r( )i

là ước lượng vững của điểm phân vị xpi . Từ định nghĩa, p1< p< p2 nên điểm phân vị

p