Ứng dụng của tính nhúng hyperbolic

2.3.1 Ứng dụng của định lý 2.2.1

Định lý dưới đây là một mở rộng của sự tổng quát hóa Kobayashi – Kwack cho định lý Picard về các ánh xạ trong *

(D , )

H X khi X là không gian con nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Trong đó H(D ,* X) là đóng trong C(D ,* Y ).

2.3.1.1 Định lý. Nếu X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y, thì mỗi *

( , )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Chứng minh. Nếu fn là một dãy trong H(D ,* X) và fn f C(D ,* Y ), thì 

n

f tồn tại với mỗi n theo Hệ quả 2.1.10 và theo Định lý 2.2.1 có g C D Y( , ) và một dãy con

k

n

f của fn sao cho

k

n

f g. Do đó g = f trên D*. Nên g f .

Sử dụng định lý Lelong về độ đo (xem [L, tr. 56]), Noguchi chỉ ra rằng : Với X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic của không gian phức Y, nếu fn là một dãy trong H(D ,* X) và fn f H(D ,* X) thì  

n

f f .

Sử dụng Định lý 2.2.1, E. Joseph và H. Kwack đã hoàn thiện kết quả trên của Noguchi mà phần chứng minh không sử dụng định lý độ đo của Lelong. Cụ thể trong định lý sau :

2.3.1.2 Định lý. Cho X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Nếu fn là một dãy trong *

(D , )

H X và fn f thì  

n

f f .

Chứng minh. Cho fn là một dãy trong *

(D , )

H X và cho *

(D , )

f C Y

sao cho fn f . Nếu

k

n

f là một dãy con của fn sao cho  (D, )

k

n

f g C Y thì

k

n

f g trên D*, nên g = f trên D* và do đó g f . Từ Định lý 2.2.1, mỗi dãy con của fn tồn tại dãy con hội tụ tới một phần tử của C(D,Y ). Do đó định lý được chứng minh.

Ví dụ 3. Trong ví dụ 2, fk h với h là hàm hằng [0, 1, 0, … , 0]; f hk, thác triển thành   n

, (D,P ( ))

k

f h H  với mỗi k. Tuy nhiên 

k

f h.

Định lý tiếp theo là một đặc trưng của nhúng hyperbolic và sẽ được sử dụng để mở rộng hơn nữa Định lý Noguchi cho D.

2.3.1.3 Định lý. Một không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi *

D, ; (D , )

C Y H X là compact trong C(D,Y ).

Chứng minh. Vì C D,Y ;H(D ,* X) C D Y, ;H D X( *, ) , nên theo Định lý 2.2.1(3) điều kiện đủ được chứng minh. Với điều kiện cần, chúng ta chỉ ra rằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

*

D, ; (D , )

C Y H X = *

, ; ( , )

C D Y H D X khi X là nhúng hyperbolic trong Y và tiếp tục sử dụng Định lý 2.2.1(3). Xét f , với fn trong * ( , ) H D X thỏa mãn fn f . Khi đó * (D , ) f C Y và từ Định lý 2.3.1.1 và Định lý 2.3.1.2 ta có   n f f . Nên * * D, ; (D , ) , ; ( , )

C Y H X C D Y H D X . Chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta giả sử f n là một dãy trong (D,C Y ) sao cho 

n

f gvà *

(D , )

n

f H X với mỗi n. Lúc bấy giờ fn g trên D*; Do đó ta có bao hàm thức ngược lại.

Hệ quả sau đây diễn tả sự mở rộng hơn nữa của định lý Noguchi cho D.

2.3.1.4 Hệ quả. Cho X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Nếu fn là một dãy trong *

(D , ) H X và fn f , thì   n f f . Chứng minh. Nếu k n

f là một dãy con của fn sao cho 

k n f g, thì k n f g

trên D*; Do đó g = f trên D* và g f . Theo Định lý 2.3.1.3, với mỗi dãy fn trong

*

(D , )

H X , 

n

f là một dãy con hội tụ, nên  

n

f f .

Trong trường hợp X là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y, Định lý 2.3.1.3 giúp chúng ta chứng minh điều kiện cần của hệ quả sau .

2.3.1.5 Hệ quả. Một không gian con phức compact tương đối X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi tồn tại *

, ; ( , )

g H D Y H D X

sao cho  *

(0) sup (0) : (D , )

dg d f f H X .

Chứng minh. Từ mệnh đề 1.6.3.1 ta suy ra điều kiện đủ của định lý. Chứng minh điều kiện cần, ta lấy fn là một dãy trong *

(D , )

H X sao cho

 (0)

n

d f  *

sup d f(0) : f H(D ,X) . Theo Định lý 2.3.1.3, tồn tại dãy con

k

n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ của fn và * D, ; (D , ) g H Y H X sao cho  k n f g. Khi đó  (0) (0) k n d f dg .

Chú ý 4. Trong phần chứng minh điều kiện cần của Định lý 2.3.1.3, đẳng

thức *

D, ; (D , )

C Y H X = C D Y, ;H D X( *, ) có thể được chứng minh như sau. Lấy X là một không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Chứng minh C D,Y ;H(D ,* X) C D Y, ;H D X( *, ) như chứng minh của Định lý 2.3.1.3. Mặt khác, nếu  n f g, với * (D , ) n f H X , thì theo Định lý 2.2.2, * (D , ) k n

f f C Y với mọi dãy con

k n f của dãy fn . Do đó   k n f f theo Định lý 2.3.1.1 và 2.3.1.2, vì thế f g. Do đó ta có * * , ; ( , ) D, ; (D , ) C D Y H D X C Y H X .

Chú ý 5. Nếu X trong phần này được giả thiết là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y, thì C có thể được thay thế bởi H và Y+ bởi Y.

Chú ý 6. Định lý 2.3.1.1 có thể được xem như là một tổng quát của kết quả :

mọi *

(D , )

f H X trong H(D , )* C đều thác triển được khi X là một miền bị chặn trong C, Định lý của Riemann trên các điểm kỳ dị bỏ được. ([B])

Dưới đây là một ví dụ trong đó sử dụng Định lý 2.2.1 để chỉ ra rằng một không gian con phức là nhúng hyperbolic trong P ( )2  .

Ví dụ 4. Cho M = ( \ {0,1}) x , trong đó  là một miền bị chặn. Lấy [w0, w1, w2] là hệ tọa độ thuần nhất của P ( )2  . Ta chỉ ra rằng

2 *

[D, P ( ); (D , ( ))]

H  H M là compact tương đối trong H(D, P ( ))2  . Lấy gn là một dãy trong *

(D , ( ))

H M . Tồn tại dãy fn trong *

(D , )

H M sao cho gn  fn

với mỗi n, và fn được cho bởi f zn( ) (a z b zn( ), n( )) trong đó an , bn lần lượt là các dãy trong  \ {0,1}, . Vì  \ {0,1} và đều là nhúng hyperbolic trong P1( ), nên chúng ta có thể giả sử * 1

, (D ,P ( ))

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

  1

, , n, n, , (D,P ( ))

n n

a a b b a b a b  H  tồn tại với mỗi n, và an a b,n b ; với mỗi n, gn thác triển thành 

n

g được xác định như sau.

    1, ( ), ( ) ( ) ( ) [0,1, 0] ( ) n n n n n a z b z a z g z a z    [ ] nÕu nÕu Ta định nghĩa 2 ( ( )) h H D,P  bởi [1, ( ), ( )] ( ) ( ) [0,1, 0] ( ) a z b z a z h z a z   nÕu nÕu Khi đó gn h. 2.3.2 Ứng dụng của Định lý 2.2.3

Áp dụng kết quả của Định lý 2.2.3 ta có thể chứng minh các kết quả tương tự như trong phần ứng dụng của Định lý 2.2.1 với số chiều cao hơn. Trong đó,

( \ , )

H M A X là bao đóng trong (C M A Y\ , ).

2.3.2.1 Định lý. Cho X là không gian con phức nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Cho M là một đa tạp phức và A là divisor trên M với giao chuẩn tắc. Khi đó:

(a) Mỗi f H M( \ ,A X trong) C M A Y( \ , ) đều thác triển được thành f C M Y( , );

(b) Nếu fn là một dãy trong H M A X( \ , ) và fn f C M( \ ,A Y ), thì

 

n

f f .

2.3.2.2 Định lý. Một không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi C M Y, ;H M( \ ,A X) là compact trong

( , )

C M Y với mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc.

2.3.2.3 Hệ Quả. Cho X là không gian con phức nhúng hyperbolic compact tương đối của không gian phức Y. Cho M là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. Với mỗi z M , tồn tại g H M Y H M, ; ( \ ,A X) sao cho



( ) sup ( ) : ( \ , )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

2.3.2.4 Định lý. Cho X là một không gian con phức, nhúng hyperbolic của không gian con phức Y. Cho M là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. Nếu fn là một dãy trong H M( \ ,A X , và ) fn f C M( \ ,A Y ) thì

 

n

f f .

Từ định lý 2.3.1.3 và các kết quả trên ta chứng minh được ba đặc trưng của nhúng hyperbolic và một số chú ý sau.

Chú ý 7. Định lý 2.3.2.1.(a) là tổng quát và mở rộng một kết quả của Kiernan. (Định lý 5.2, [L, Tr. 58]).

Chú ý 8. Định lý 2.3.2.1.(b) và 2.3.2.4 là tổng quát định lý của Noguchi (Định lý 5.4, [L, Tr. 61]).

2.3.2.5 Định lý. Một không gian con phức X của không gian phức Y là nhúng hyperbolic trong Y khi và chỉ khi ba mệnh đề sau đúng với mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc:

(1) H M A X( \ , ) là compact tương đối trong (C M A Y\ , ). (2) Mỗi f H M( \ ,A X có một thác triển trong ) C M Y( , ).

(3) fn là một dãy trong H M A X và ( \ , ) fn f C M( \ ,A Y ) thì

 

n

f f .

Chứng minh. Chứng minh điều kiện cần : Giả sử X là không gian con phức nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Khi đó áp dụng định lý 2.2.3 (4) ta suy ra khẳng định (1). Từ định lý 2.3.2.1 ta suy ra khẳng định (2) và (3).

Ta chứng minh điều kiện đủ. Lấy fn là một dãy trong H M A X( \ , ). Từ (1), tồn tại dãy con

k

n

f của fn và f C M A Y( \ , ) sao cho

k

n

f f . Từ (2), f nk và f tồn tại với mọi k và từ (3) có  

k n f f . Do đó, từ Định lý 2.2.3, ta có điều phải chứng minh. Chú ý 9. Định lý 2.3.2.4 và 2.3.2.5 chỉ ra rằng chúng ta có thể thay thế ( \ , )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Chú ý 10. Từ Chú ý 9 và Định lý 2.3.2.5 dễ nhận thấy rằng một không gian con phức X của một không gian phức Y là nhúng hyperbonlic trong Y khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn với mỗi đa tạp phức M và divisor A trên M với giao chuẩn tắc:

(1) H M A X ( \ , ) là compact tương đối trong C(M \ A, Y+

).

(2) Ánh xạ : (H M \ ,A X) C M Y( , ) được xác định bởi ( )f f là một phép nhúng.

Taimanov đã chứng minh mệnh đề sau:

2.3.2.6 Mệnh đề. ([T]) Cho A là một tập con trù mật của không gian tô pô Hausdorff X và cho f là một ánh xạ từ A tới không gian compact Hausdorff Y. Ánh xạ f có thác thiển liên tục ra X khi và chỉ khi với mỗi cặp tập con đóng rời nhau B1, B2 của Y, nghịch ảnh 1 1 ( ) f B và 1 2 ( )

f B là đóng và rời nhau trong X.

Định lý 2.3.3.7 đưa ra những đặc trưng của nhúng hyperbolic

2.3.3.7. Định lý. Các mệnh đề sau đây là tương đương với mỗi không gian con phức X của không gian phức Y.

(1) X là nhúng hyperbolic trong Y.

(2) Với mỗi đa tạp phức M, divisor A trên M với giao chuẩn tắc và dãy fn trong H M( \ ,A X , tồn tại dãy con )

k

n

f của dãy fn sao cho

1 1

lim ( ) lim ( )

k k

n n

f P f Q đối với các tôpô trên M, P và Q lần lượt là các tập con compact đóng rời nhau của Y.

(3) Với mỗi đa tạp phức M, divisor A trên M với giao chuẩn tắc và dãy fn trong H M A X , tồn tại dãy con ( \ , )

k

n

f của dãy fn sao cho

1 1

lim ( ) lim ( )

k k

n n

f P f Q đối với các tôpô trên M, P và Q lần lượt là các tập con compact, đóng rời nhau của Y.

Chứng minh. (2) (3). Hiển nhiên vì H M( A X, ) H M A X( \ , )

(1) (2). Từ Hệ quả 2.1.8 và Định lý 2.2.1, với mỗi dãy bất kỳ fn trong

( \ , )

H M A X ,  ( , )

n

f C M Y tồn tại với mỗi n và tồn tại dãy con 

k n f của  n f sao cho  k n f g C M Y( , ). Nếu P Y là compact, Q Ylà đóng và

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1 1

lim ( ) lim ( )

k k

n n

x f P f Q , lấy W là một lân cận của g(x) và K là một lân cận compact của x trong M sao cho g K W . Thì ( \ )

k n f K A W thậm chí cả khi ( \ ) k n f K A P và ( \ ) k n f K A Q . Do đó W P , W Q , và ( )

g x P Q trong Y+. Vì P compact trong Y nên g x P Q.

(3) (1). Giả sử fn và zn lần lượt là các dãy trong H(D*,X) và D* tương ứng, sao cho zn 0 và f zn( )n p Y . Lấy U mở chứa p và chọn W mở chứa p sao cho W là compact và W U . Nếu không có 0 < r < 1 thỏa mãn

*

(D )

n r

f U, thì tồn tại dãy con của fn , mà ta vẫn ký hiệu là fn , sao cho

1 1

0 lim ( ) lim ( )

k k

n n

f W f Y U với mỗi dãy con

k

n

f của fn , nên (3) là sai. Do đó từ Bổ đề 2.1.8 và mệnh đề (2) của Định lý 2.1.7 ta có điều phải chứng minh.

Dưới đây là một tổng quát hóa Định lý Vitali cổ điển [B] với một biến phức cho số chiều cao hơn.

2.3.3.8 Định lý. Cho X là một không gian phức con nhúng hyperbolic của không gian phức Y. Cho M là một đa tạp phức và A là một divisor trên M với giao chuẩn tắc. Lấy N M có tính chất : nếu f g, C M Y( , ) và f = g trên N, thì f=g. Nếu

n f là một dãy trong H M A X và ( \ , )  n f hội tụ trên N , thì  n f hội tụ.

Chứng minh. Tồn tại dãy con 

k n f của  n f sao cho  ( , ) k n f f C M Y . Nên  k n f f trên N và do đó  n f f trên N. Tức là  n f f . KẾT LUẬN

Lý thuyết các không gian phức hyperbolic nói chung, đặc biệt là tính nhúng hyperbolic và bài toán thác triển các ánh xạ chỉnh hình, là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. “Miền đất mới màu mỡ” này đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học lớn trên thế giới. Luận văn này nghiên cứu về tính nhúng hyperbolic và không gian thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình. Luận văn đạt được một số kết quả sau:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

1. Trình bày một cách hệ thống một số kiến thức cơ sở của giải tích phức như: đa tạp phức, không gian phức, không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic, Divisor với giao chuẩn tắc, giả khoảng cách tương đối Kobayashi. 2. Trình bày được các đặc trưng của điểm hyperbolic.

3. Trình bày được: tính nhúng hyperbolic của không gian con phức X vào không gian phức Y được đặc trưng bởi tính compact tương đối trong cấu trúc tô pô compact mở của các không gian thác triển liên tục của các ánh xạ chỉnh hình. 4. Trình bày được một số ứng dụng các kết quả trên vào việc khái quát, mở rộng các

định lý nổi tiếng như các định lý của Kobayashi, Kiernan, Kwack, Noguchi và Vitali.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[D] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, Hà Nội.

[Th] Trương Văn Thương (2003), Hàm số biến số phức, Nhà xuất bản Giáo Dục.

Tiếng Anh

[A] Abate. M (1993), A characterization of hyperbolic manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 117, 789 – 793

[A-V] Abate. M and Vigue. J. –P (1991), Common fixed points in hyperbolic Riemann surfaces and convex domains. Proc. Amer. Math. Soc. 112, 503 – 512.

[B] Boas. R (1987), Invitation to Complex Alnalysis. Random House, New York. [C] Conway. J. B (1978), Funtions of One Complex Variable. Springer – Verlag,

New York.

[Ke] Kelley. J. L (1955), General Topology. Van Nostrand, Princeton, NJ.

[Kw] Kwack. M (1969), Generalizations of the big Picard theorem. Ann. Of Math. 90, No. 2, 9 – 22.

[Ki1] Kiernan. P (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big Picard theorem. Math. Ann. 204, 203 – 209.

[Ki2] Kiernan. P (1972), Extensions of holomorphic maps. Trans. Amer. Math. Soc. 172, 347 – 355.

[Ko] Kobayashi. S (1970), Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings.

Marcel Dekker, New York.

[K – K] Kiernan. P and Kobayashi. S (1973), Holomorphic mappings into projective space with lacunary hyperplanes. Nagoya Math. J. 50, 119 – 216.

[K – O] Kobayashi. S and Ochiai. T (1971), Satake compactifications and the great Picard theorem. J. Math. Soc. Japan 23, 340 – 350.

[L] Lang. S (1987), Introduction to complex Hyperbolic Spaces. Springer –