III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
2. Một số kiến thức cơ bản cần dùng
2.1. Với 3 điểm bất kì A; B; C ta có AB AC + BC. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C nằm giữa 2 điểm A và B.
2.2. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. AB≤AC≤BC⇔ ∧
C ≤ ∧
B ≤ ∧
A A BC C
2.3. Trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông.
CA> AB> BC.
B C 2.4. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh A
nhỏ nhất là góc lớn nhất.
2.5. Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm đến một đờng thẳng, đờng nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại.
AB ≤ AC⇔BH ≤HC B H C 2.6. Trong tam giác ABC có: A
AB - AC < BC < AB + AC AB - BC < AC < AB + BC
AC - BC < AB < AC + BC B C 2.7. Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung lớn hơn. C
+ Đờng kính là dây cung lớn nhất. D CD ≤ AB = 2R. A B 2.8. SABC ≤ . ; 2 1 AC AB SABC ≤ . ; 2 1 AB BC SABC ≤ CA.AC 2 1 II. Một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học. 1. Sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta có: b+2c−a < ma < b2+c
Giải
Gọi M là trung điểm của AC.
Xét ∆ABM có: AM > AB - BM A D Xét ∆ADM có: AM > AD - DM Cộng từng vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc: M 2AM > AB + AD - (BM + DM) ⇒2AM > AB + AD - BD B C ⇒ma > b+c2−a (1)
Trên tia đói của tia MA lấy điểm C sao cho: MA = MC ⇒ ∆ABM = ∆CDM (c.g.c) ⇒AB = CD.Xét ∆ACD có: AC < AD + CD = AD + AB.
Từ (1) và (2) ⇒
2
a c b+ −
< m a<b2+c. (Điều phải chứng minh).