2.3.1. Những nội dung chính của chương" Dao động cơ" vật lí 12, chương trình nâng cao
Chương 2 vật lí 12 chương trình nâng cao giúp học sinh hiểu và vận dụng được một số kiến thức thuộc các nội dung sau:
2.3.1.1. Dao động điều hòa và khảo sát dao động điều hòa
Trong nội dung này học sinh cần hiểu và vận dụng được những kiến thức sau đây:
+ Thông qua quan sát nắm được khái niệm về dao động, dao động tuần hoàn mà đại lượng quan trọng là chu kỳ, tần số.
+ Biết cách thiết lập phương trình động lực học của con lắc lò xo và dẫn đến phương trình dao động.
+ Hiểu rõ các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà: biên độ, pha, pha ban đầu, tần số góc, chu kỳ, tần số.
+ Biết tính toán và vẽ đồ thị biến đổi theo thời gian của li độ và vận tốc trong DĐĐH.
+ Biết biểu diễn DĐĐH bằng véc tơ quay.
+ Biết viết điều kiện ban đầu tuỳ theo cách kích thích dao động và từ điều kiện ban đầu suy ra biên độ (A) và pha ban đầu ().
+ Có kỹ năng giải bài tập về DĐĐH.
2.3.1.2. Dao động điều hòa của con lắc đơn
+ Biết cách thiết lập phương trình động lực học của con lắc đơn, có khái niệm về con lắc vật lí.
+ Nắm vững những công thức về con lắc và vận dụng trong các bài toán đơn giản.
+ Củng cố kiến thức về dao động điều hoà đã học trong bài trước và lặp lại bài này.
39
+ Giải một số bài tập về dao động điều hoà.
2.3.1.3. Năng lượng trong dao động điều hòa
+ Biết cách tính toán và tìm ra biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc lò xo.
+ Củng cố kiến thức về bảo toàn cơ năng của một vật chuyển động dưới tác dụng của lực thế.
+ Có kỹ năng giải bài tập có liên quan như tính thế năng, động năng của con lắc đơn.
+ Vẽ đồ thị thế năng, động năng của vật dao động điều hoà.
2.3.1.4. Dao động tắt dần và dao động duy trì
+ Hiểu được nguyên nhân làm tắt dần dao động là do ma sát nhớt tạo nên lực cản đối với vật dao động. Ma sát nhỏ dẫn đến dao động tắt dần chậm. Ma sát lớn dần dẫn đến tắt dần nhanh và dần đến không dao động.
+ Biết được nguyên tắc làm cho dao động có ma sát được duy trì. + Giải thích nguyên nhân tắt dần của dao động.
+ Giải thích cách làm dao động duy trì, phân biệt dao động duy trì và dao động tự do.
2.3.1.5. Dao động cưỡng bức và cộng hưởng
+ Biết được dao động cưỡng bức khi ổn định có tần số bằng tần số ngoại lực, có biên độ phụ thuộc tần số ngoại lực. Biên độ cực đại khi tần số ngoại lực bằng tần số riêng của hệ vật dao động. Hiện tượng biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại gọi là cộng hưởng. Cộng hưởng thể hiện rõ khi ma sát nhỏ.
+ Biết được rằng hiện tượng cộng hưởng có nhiều ứng dụng trong thực tế và kể ra một vài ứng dụng đó.
+ Giải một số bài tập có liên quan đến hiện tượng cộng hưởng. + Phân biệt dao động duy trì và dao động cưỡng bức.
40
2.3.1.6. Tổng hợp dao động điều hòa
+ Biết rằng có thể thay thế việc cộng hai dạng sin, x1 và x2 cùng tần số góc bằng việc cộng hai véc tơ quay tương ứng X1 và X2 ở thời điểm t = 0.
+ Có kỹ năng dùng phương pháp Fresnen để tổng hợp hai dao động có cùng tần số góc.
+ Hiểu được tầm quan trọng của độ lệch pha khi tổng hợp hai dao động. + Biểu diễn véc tơ quay thay cho dao động điều hoà, tổng hợp hai dao động điều hoà cùng tần số bằng véc tơ quay.
+ Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp.
2.3.2. Phân tích những nội dung chính của chương" Dao động cơ" vật lí 12, chương trình nâng cao
Trong chương "Dao động cơ" chúng ta nghiên cứu đến các hiện tượng có liên quan đến dao động và các ứng dụng của nó trong thực tiễn. Chương này có một số vấn đề trọng tâm cần đi sâu phân tích như sau:
2.3.2.1. Khảo sát dao động điều hoà
Nội dung trước tiên ta phải nghiên cứu và phân tích "thế nào là dao động điều hoà": Để hiểu " thế nào là dao động điều hoà" cần phải nghiên cứu "thế nào là dao động" nói chung, từ đó đưa ra khái niệm dao động tuần hoàn dựa trên mô tả bằng hình vẽ. Trên cơ sở dao động của con lắc lò xo bỏ qua ma sát, bằng phương pháp động lực học, phân tích các lực tác dụng tại một vị trí bất kỳ và dùng định luật II Niutơn:
a m F .
.
Suy ra Fđh = m.a. Sau đó nghiên cứu các mối liên hệ giữa li độ (x), vận tốc (v), gia tốc (a). Sử dụng định nghĩa vận tốc, gia tốc và giới hạn của hàm số như: + t x v nếu t rất nhỏ thì lim ' 0 x t x t x v t + t v a nếu t rất nhỏ thì lim ' '' 0 x v t v t v a t
41
Từ đó ta có lực gây ra dao động của con lắc lò xo được mô tả bằng phương trình: -k.x = m.x'' hay x''+ .x0 m k , đặt m k 2 ta có phương trình: x''+2.x0 (2.1)
Đây là phương trình toán học có tên gọi là phương trình vi phân hạng 2 (hay là phương trình động lực học của dao động của con lắc lò xo). Phương trình mô tả chuyển động của một vật có dạng như (2.1) được gọi là dao động điều hòa.
Phương trình này có nghiệm:
x = A.cos(t) (2.2) hoặc x = A.sin(t). (2.3)
Bằng cách đạo hàm phương trình (2.2) hoặc (2.3) thay vào phương trình (2.1) ta thu được hai vế bằng nhau và chứng minh được nghiệm của phương trình vi phân hạng hai là hàm cos hoặc sin. Ở đấy chứa đựng nhiều kiến thức toán học cần trang bị cho học sinh thì mới có thể nắm chắc được các định nghĩa cơ bản của vật lí, hay các đại lượng vật lí. Một vấn đề nữa có liên quan là học sinh phải có những kỹ năng giải các phương trình lượng giác cũng như biết cách lập phương trình động lực học dao động của con lắc lò xo, con lắc đơn.
Tiến trình cụ thể như sau:
+ Dao động:
42
- Chuyển động của một vật được gọi là dao động nếu như nó chuyển động qua lại nhiều lần xung quanh một vị trí cân bằng ( Hình 2.1a, b,c)
- Dao động tuần hoàn: Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động được lặp liên tục theo thời gian.
Chu kì: Thời gian (T) mà vật thực hiện được một lần dao động tuần hoàn.
Tần số: Số lần dao động (f) vật thực hiện được trên một đơn vị thời gian f = 1/T. Đơn vị: 1/s gọi là héc kí hiệu Hz.
+ Con lắc lò xo:
- Cấu tạo: Con lắc lò xo gồm một vật gắn vào một đầu lò xo khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo cố định.
Hình 2.2a,b,c. Cấu tạo và hoạt động của con lắc lò xo
O a, - x F O x = 0 0 F O + x F b, c,
43
Phương trình động lực học: Xét trường hợp con lắc lò xo đặt nằm ngang. Chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, phương trục toạ độ dọc theo trục lò xo, chiều dương trục toạ độ như hình 2.2. Nếu chọn gốc toạ độ tại vị trí cân bằng thì toạ độ x của quả nặng được gọi là li độ. Khi bỏ qua lực ma sát và sức cản của không khí thì khi dao động, quả nặng chịu tác dụng lực đàn hồi của lò xo (trọng lực và phản lực luôn cân bằng nhau), lực này luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với độ lớn li độ theo định luật Hooke: F = - kx.
Áp dụng định luật II Niutơn ta có: ma = - kx hay a + .x0 m k vì a = x//, đặt ω2 = k/m suy ra: x// + ω2x = 0 ( 2.4a )
Nhận thấy phương trình (2.4a) có dạng như phương trình (2.1) đã trình bày ở trên. Nghiệm của nó có dạng:
x = Acos(ωt+φ). (2.4b)
với A, ω, φ là các hằng số và x = Acos(ωt+φ) được gọi là phương trình dao động của con lắc lò xo.
+ Dao động điều hoà:
Như trên đã phân tích và thiết lập được phương trình (2.4a) mô tả dao động của con lắc lò xo. Vậy phương trình dao động có dạng x = Acos(ωt+φ), tức là vế phải của phương trình là hàm số cos hay sin của thời gian nhân với hằng số: gọi là dao động điều hoà.
+ Các đại lƣợng đặc trƣng cho dao động điều hoà:
Phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt+φ), có các đại lượng đặc trưng sau đây:
A: gọi là biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của độ lớn li độ ( A = |x|max). (ωt+φ): gọi là pha dao động tại thời điểm t, nó chính là đối số của hàm số cosin. Với một giá trị biên độ A cho trước thì pha dao động cho phép ta xác định được li độ của vật dao động điều hoà tại thời điểm t.
44
φ: gọi là pha ban đầu, tức là pha dao động tại t = 0. Với một giá trị biên độ A cho trước thì pha ban đầu cho phép ta xác định được li độ của vật dao động điều hoà tại thời điểm t = 0 ( li độ ban đầu).
ω: gọi là tần số góc của dao động. ω là đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến đổi của pha dao động.
+ Chu kì và tần số của dao động điều hoà:
Trong phương trình dao động điều hoà (2.4b): x = Acos(ωt+φ), nếu chọn gốc thời gian và chiều dương trục toạ độ thích hợp để φ = 0. Bảng 2.2 cho biết các giá trị để vẽ đồ thị hàm số này.
Bảng giá trị: t 0 2 2 3 2 t 0 2 2 3 2 x A 0 - A 0 A
Từ bảng 2.2 ta có thể vẽ được đồ thị của x phụ thuộc vào thời gian như hình 2.3a T T T x O t A -A
Hình 2.3a. Đồ thị biểu diễn li độ x = Acosωt
45
Từ đồ thị ta có thể suy ra: T =2π/ω, đó là chu kì dao động điều hoà và tần số của dao động điều hòa là: f =1/T .
+ Khảo sát vận tốc và gia tốc trong dao động điều hoà:
Theo định nghĩa: vận tốc chính là đạo hàm của đoạn đường theo thời gian nên:
v = x' = - Aωsin(ωt+φ) = Aωcos(ωt+φ + 2
) (2.5) Giá trị cực đại của vận tốc là:
|v|max = Aω (2.6)
khi sin(ωt+φ) =1 hay :
cos(ωt+φ) = 0 (2.7)
Vậy tốc độ của vật dao động điều hoà đạt giá trị cực đại khi vật qua vị trí cân bằng. Đồ thị biểu diễn của vận tốc phụ thuộc thời gian ứng với pha ban đầu bằng không như hình (2.3b)
T T T v O t A -A
Theo định nghĩa gia tốc của chuyển động là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian nên:
a = v/ = [-Aωsin(ωt+φ)]/ = - Aω2cos(ωt+φ) = - ω2
x. (2.8) Gia tốc cực đại:
|a|max = Aω2 (2.9)
Hình 2.3b. Đồ thị biểu diễn v phụ thuộc thời gian trong dao động điều hòa ứng với = 0
46 khi cos(ωt+φ) = 1.
Vậy gia tốc của vật dao động điều hoà có độ lớn đạt giá trị cực đại khi khi vật ở biên ( |x| = A). Đồ thị gia tốc được biểu diễn trên hình (2.3c)
+ Điều kiện ban đầu: sự kích thích dao động:
Trong khi giải các bài toán về dao động điều hòa ta cần chú ý đến các điều kiện ban đầu.
Khi t = 0 thì phương trình (2.4b) có dạng:
x (0) = Acos = x0 (2.10) và khi đó:
v (0) = - Asin = v0 (2.11)
các giá trị x0 và v0 là các hằng số và được gọi là các giá trị ban đầu của dao động điều hòa. Các giá trị ban đầu đóng vai trò như sự kích thích dao động.
Trong trường hợp tổng quát để kích thích cho hệ dao động ta đưa vật khỏi VTCB đến li độ x0 đồng thời truyền cho vật giá trị vận tốc v0.
+ Biểu diễn dao động điều hoà bằng véc tơ quay:
Dao động điều hòa x = Acos(ωt+φ) có thể được biểu diễn bằng véc tơ quay OM như trên hình 2.4. Trên hình vẽ độ dài đại số hình chiếu trên trục x của véc tơ quay OM tại điểm P biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ của dao động.
Hình 2.3c . Đồ thị biểu diễn a phụ thuộc thời gian trong dao động điều hòa ứng với =0
47
2.3.2.2. Khảo sát dao động của con lắc đơn.
Con lắc đơn là một con lắc có nhiều ứng dụng trong đời sống con người. Khi nghiên cứu sự chuyển động của nó và bỏ qua sức cản, với biên độ góc nhỏ ta phải dùng phương pháp động lực học. Nghĩa là phải phân tích các lực tác dụng lên con lắc ở một li độ góc bất kỳ giống như trường hợp con lắc lò xo đã trình bày ở trên. A O M0 x M x P y
Hình 2.4. Biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay
Hình 2.5. Khảo sát dao động của con lắc đơn
M Q R t P O α0 α P Pn m l + +
48
Trên hình 2.5 nếu ta đưa vật M dọc theo cung OA đến vị trí A, với 0 OQA
rồi thả nhẹ. Con lắc dao động trên cung tròn AB xung quanh vị trí cân bằng O. Tại thời điểm t vật ở vị trí M được xác định bởi các đại lượng:
+ li độ cong s = cung OM
+ hoặc li độ góc = OQM , với s = .
Các lực tác dụng lên con lắc bao gồm trọng lực P và lực căng R của dây. Như vậy: P = Pn Pt (2.12)
+ Thành phần Pn theo phương sợi dây. Hợp lực của Pn và R đóng vai trò lực hướng tâm giữ cho vật chuyển động trên cung tròn. Hợp lực này không làm thay đổi tốc độ của vật.
+ Thành phần Pt đóng vai trò lực kéo về ( lực hồi phục). Lực này có độ lớn là: mgsin gây ra chuyển động và luôn hướng về vị trí cân bằng O, nên
Pt = - mgsin. (2.13)
Trường hợp đặc biệt: khi góc lệch rất nhỏ (0) thì sin = s/, do đó: Pt = - mg. Áp dụng định luật II Niu-tơn ta có: ma = ms// = Pt = - mg = - mg l s (2.14) Suy ra: s// + l g .s = 0 (2.15) Đặt l g 2 ta được: s//+ ω2s = 0 (2.16a) hay // + ω2 = 0 (2.16b)
Phương trình 2.16a có nghiệm:
49
hay (2.16b) có nghiệm : = 0cos(ωt+φ) (2.18)
Vậy dao động của con lắc đơn với góc lệch bé, khi bỏ qua ma sát là dao động điều hoà. Từ (2.14) và (2.15), kết hợp với công thức
2
T ta biến đổi được chu kỳ dao động của con lắc là:
g l
T 2 (2.19)
Sau khi nắm những kiến thức cơ bản trên đây ta đi tiến hành nghiên cứu các vấn đề liên quan đến con lắc đơn như: vận tốc, gia tốc, lực căng dây treo con lắc, động năng, thế năng và cơ năng của con lắc,…
2.3.2.3. Biến đổi năng lượng trong dao động điều hoà.
Trong quá trình dao động của các con lắc, luôn có sự biến đổi qua lại giữa động năng và thế năng nhưng cơ năng của con lắc được bảo toàn. Áp dụng các biểu thức (2.4b) và (2.5) tìm được các phương trình của động năng:
) ( sin . 2 1 2 1 2 2 2 2 mv m A t Eđ (2.20) và thế năng: ) ( cos . 2 1 2 1 2 2 2 2 kx m A t Et (2.21)
Các phương trình (2.20) và (2.21) chứng minh rằng động năng và thế năng của dao động điều hoà cũng biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số góc: ' = 2, f ' = 2f, T' = T/2.
Từ đó dựa trên cơ sở của các công thức toán học ta suy ra cơ năng của vật dao động điều hoà là tổng động năng và thế năng của chúng được bảo