5.1. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM - HÀM ƯỚC LƯỢNG
5.1.1. Phương phỏp ước lượng điểm
Giả sửXlà biến ngẫu nhiờn biểu thị đặc trưng nghiờn cứu trờn tậpΩ, cú phõn phối xỏc suất đó biết nhưng cũn phụ thuộc vào tham sốθchưa biết.
Để ước lượngθ, ta lấy mẫu kớch thướcn. Khi đú, ta cú mẫu ngẫu nhiờn(X1, X2, . . . , Xn). Sau khi lấy mẫu, ta được mẫu thực nghiệm(x1, x2, . . . , xn)vớiXi =xi(i= 1, n).
Ứng với mỗi mẫu thực nghiệm(x1, x2, . . . , xn)ta cú một sốθˆn(x1, x2, . . . , xn)dựng để ước lượng choθ. Phương phỏp ước lượng đú gọi là phương phỏp ước lượng điểm. Vỡ sốθˆn(x1, x2, . . . , xn)ứng với một điểm trờn đường thẳng số.
Ta gọiUlà tập hợp cỏc mẫu thực nghiệm(x1, x2, . . . , xn)hay núi cỏch khỏcU là miền giỏ trị của mẫu ngẫu nhiờn(X1, X2, . . . , Xn). Khi đú ta cú một hàm
ˆ
θn :U → R,(x1, x2, . . . , xn)7→θˆ
n(x1, x2, . . . , xn) Biến ngẫu nhiờnθˆn(x1, x2, . . . , xn)gọi là hàm ước lượng của tham sốθ.
Vấn đề là phải tỡm hàmθˆn(x1, x2, . . . , xn)sao cho ước lượng được tốt, tức là ước lượng khụng mắc sai số hệ thống và hiệu quả.
5.1.2. Cỏc tiờu chuẩn ước lượng tham số đặc trưng củaX
Ước lượng khụng chệch
Định nghĩa 5.1.28 Hàm ước lượngθˆn(x1, x2, . . . , xn)của tham sốθđược gọi là ước lượng khụng chệch của tham sốθnếuE(ˆθn(x1, x2, . . . , xn)) =θ.
Ngược lại nếuE(ˆθn(x1, x2, . . . , xn))̸=θthỡ ta núi hàm ước lượngθˆn(x1, x2, . . . , xn)là hàm ước lượng chệch củaθ.
Ước lượng bền vững
Định nghĩa 5.1.29 Hàm ước lượngθˆn(x1, x2, . . . , xn)của tham sốθđược gọi là ước lượng bền vững của tham sốθnếu
∀ϵ >0ta cú lim
n→+∞P(|θnˆ −θ |< ϵ) = 1
i)E(ˆθn(x1, x2, . . . , xn)) = θhaylimn→∞E(ˆθn(x1, x2, . . . , xn)) =θ
ii)limn→∞D(ˆθn(x1, x2, . . . , xn)) = 0thỡθˆn(x1, x2, . . . , xn)là ước lượng bền vững củaθ.
Ước lượng hiệu quả
Định nghĩa 5.1.30 Ước lượng khụng chệch θˆn(x1, x2, . . . , xn) của θ được gọi là ước lượng hiệu quả nếu với mọi ước lượng khụng chệch θˆn′(x1, x2, . . . , xn) của θ thỡ D(ˆθn(x1, x2, . . . , xn)) 6
D(ˆθ′n(x1, x2, . . . , xn)).
Định nghĩa 5.1.31 Hàm ước lượngθˆn(x1, x2, . . . , xn)của tham sốθđược gọi là ước lượng tốt của tham sốθnếu nú là ước lượng khụng chệch, bền vững và hiệu quả củaθ
∀ϵ >0ta cú lim
n→+∞P(|θˆ
n−θ |< ϵ) = 1
5.1.3. Ước lượng của kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiờnX
Định lý 5.1.21 ChoXlà một biến ngẫu nhiờn và(x1, x2, . . . , xn)là mẫu ngẫu nhiờn củaX. Khi đú a)X = 1n∑n
i=1Xi là ước lượng khụng chệch, bền vững và hiệu quả của kỳ vọngE(X)của biến ngẫu nhiờnX.
b) Phương sai điều chỉnhδ2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n−1 = n−11∑n
i=1(Xi −X)2 của mẫu ngẫu nhiờn là ước lượng khụng chệch, bền vững của phương saiD(X)đối với biến ngẫu nhiờnX.
í nghĩa: - Muốn ước lượng kỳ vọngE(X)ta lấy trung bỡnh mẫu ước lượng cho nú.
5.2. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG5.2.1. Nguyờn lý xỏc suất nhỏ và lớn 5.2.1. Nguyờn lý xỏc suất nhỏ và lớn
Nguyờn lý xỏc suất nhỏ
Với một sốα > 0khỏ bộ vàP(A) =α(thụng thường0 < α 6 0,05) thỡ trong thực tế ta thừa nhận sự kiệnAkhụng xảy ra trong một lần thực hiện phộp thử.
Nguyờn lý xỏc suất lớn
Với một sốα > 0khỏ bộ vàP(B) = 1−α(thụng thường0 < α 6 0,05) thỡ trong thực tế ta thừa nhận sự kiệnBluụn xảy ra trong một lần thực hiện phộp thử.
5.2.2. Khoảng tin cậy và độ tin cậy
Định nghĩa
Giả sửX là biến ngẫu nhiờn biểu thị đặc trưng nghiờn cứu trờn tậpΩ, cú phõn phối xỏc suất đó biết nhưng cũn phụ thuộc vào tham sốθchưa biết. Để ước lượngθta lấy mẫu kớch thứcn. Giả sử (x1, x2, . . . , xn)là mẫu thực nghiệm ứng với mẫu ngẫu nhiờn(X1, X2, . . . , Xn)củaX. Nếu ta tỡm
được hai biến ngẫu nhiờnf1(X1, X2, . . . , Xn), f2(X1, X2, . . . , Xn)sao cho
P[f1(X1, X2, . . . , Xn)< θ < f2(X1, X2, . . . , Xn)] =γ
,trong đúγ = 1−αcho trước và gần bằng1(thụng thường0 < α 6 0,05), thỡ khoảng số thực (f1(X1, X2, . . . , Xn), f2(X1, X2, . . . , Xn))hayf1(X1, X2, . . . , Xn) < θ < f2(X1, X2, . . . , Xn)gọi là khoảng tin cậy của tham sốθvới độ tin cậyγ.
Trong trường hợp khoảng tin cậy đối xứng cú dạng
(g(X1, X2, . . . , Xn)−ϵ, g(X1, X2, . . . , Xn) +ϵ)
Khi đúϵđược gọi là độ chớnh xỏc hay sai số ước lượng.
Cần chỳ ý rằng, cựng một độ tin cậyγ ta cú thể tỡm được nhiều khoảng tin cậy khỏc nhau của tham sốθ. Khoảng tin cậy nào cú độ dài ngắn nhất thỡ xem khoảng tin cậy đú là tốt nhất. Trong thực hành, ta chỉ tỡm khoảng tin cậy tốt nhất.
Nhận xột
Từ định nghĩa trờn, nếu ta chọnα= 1%⇒γ = 99%và
P[f1(X1, X2, . . . , Xn)< θ < f2(X1, X2, . . . , Xn)] = γ
Điều này núi lờn rằng xỏc suất để lấy ra một mẫu thực nghiệm (x1, x2, . . . , xn) mà
f1(x1, x2, . . . , xn)< θ < f2(x1, x2, . . . , xn)là99%
Như vậy nếu ta lấy ra một mẫu thực nghiệm(x1, x2, . . . , xn). Ta cú khoảng tin cậy cụ thể
f1(x1, x2, . . . , xn)< θ < f2(x1, x2, . . . , xn) và theo nguyờn lý xỏc suất lớn, ta luụn thừa nhận tham sốθthỏa món
5.2.3. Khoảng tin cậy cho kỳ vọngE(X) =àvớiX v N(à, δ)
X là đại lượng ngẫu nhiờn biểu thị đặc trưng nghiờn cứu trờn tậpΩcơ phõn phối chuẩn với kỳ vọngE(X) = àchưa biết. Để ước lượngà, ta lấy mẫu ngẫu nhiờn kớch thước n. Ta cú mẫu ngẫu
nhiờn(X1, X2, . . . , Xn)và mẫu thực nghiệm tương ứng(x1, x2, . . . , xn). Ta tớnh số trung bỡnh mẫu
x. Tựy theo độ lệch chuẩnδđó biết hay chưa mà tớnh độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnhδ2
n−1. Với độ tin cậyγ = 1−α, ta cú (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khoảng tin cậy đối xứngE(X) =àlà(x−ϵ, x+ϵ)hayx−ϵ < à < x+ϵ.
Để ước lượngE(X) =àta lấy số trung bỡnh mẫuxước lượng cho nú. Khi đú
P(x−ϵ < à < x+ϵ) =γ ⇔P(|X−à|< ϵ) =γ
Trường hợp độ lệch chuẩnδđó biết Khi đúϵ= √δ
nΦ −1(γ
2
)
Trường hợp độ lệch chuẩnδchưa biết Tớnh sốδn2−1. Ta cú
P(|X−à|< ϵ) = 1−α⇔P ( | X−à δn−1 √ n |< ϵ √ n δn−1 ) =γ ⇔ϵ= δ√n−1 n.t(n−1; 1−γ) Vỡ X−à δn−1 √
ncú phõn phối Student vớin−1bậc tự do. Chỳ ý rằng, khi n > 30: X−à
δn−1
√
n cú phõn phối xấp xỉ phõn phối chuẩnN(0,1)nờnt(n −
1; 1−γ)≈Φ−1
(γ
2
)
.
Vớ dụ 5.2.55 Để ước lượng độ cứng trung bỡnh của một loại bi bằng thộp, người ta lấy ra25bi để kiểm tra. Tớnh được độ cứng trung bỡnh x = 10, với độ tin cậy99%. Hóy tỡm khoảng tin cậy đối xứng của độ cứng trung bỡnh của viờn bi thộp đú. Biết rằng độ cứng của viờn bi cú phõn phối chuẩn
N(à, δ2)trong hai trường hợp: a) Độ lệch chuẩnδ = 1
b) Độ lệch chuẩn chưa biết và từ mẫu thực nghiệm tớnh đượcδn−1 = 1,2 Giải
GọiX là độ cứng của viờn bi bằng thộp thỡXlà đại lượng ngẫu nhiờn cú phõn phối chuẩn. Khi đú kỳ vọngE(X) = àlà độ cứng trung bỡnh của một viờn bi.
a) Ta cún= 25, x= 10, δ = 1, độ tin cậyγ = 99% Tra bảng phõn vị chuẩn, ta cúΦ−1(γ 2 ) = 2,567. Từ đú, ta cúϵ= √δ nΦ −1(γ 2 ) = √1 252,567≈0,515 Vậy khoảng tin cậy đối xứng của độ cứng trung bỡnhàlà
(x−ϵ, x+ϵ) = (9,485; 10,515)hay9,485< à <10,515 b) Ta cún= 25, x= 10, δn−1 = 1,2, độ tin cậyγ = 99%
Tra bảng phõn vị Student vớin−1 = 24bậc tự do, mức phõn vị1−γ = 0,05, ta cút(24; 0,05) = 2,797nờn
ϵ= δ√n−1
nt(n−1; 1−γ) = 1,2
5 2,797≈0,67Vậy khoảng tin cậy đối xứng của độ cứng trung bỡnhàlà