thl t6n t(}.imQt t~p bien ng~t cho (2.1)
ChUng mink
Liy y > 0 sac cho
y > maxIW(u)1 lul~p va ta dinh nghia G eRn, bdi
(2.30) G={v ERn:lw(v)1< y}{v ERn:-y < w(v) < y} {v ERn:-y < w(v) < y}
Bdi st! dinh ghia cua y va (2.29) suy ra G la mQtt~p con rod, bi ch~ncua Rn, sac cho B(p) c G, va cua Rn, sac cho B(p) c G, va
8G= {v ERn:IW(V)=YI}
= {v ERn:w(v) = Y}U{V ERn:w(v) = -Y} Voi m6i U E8 G Ta dinh nghla n Vu: R ~R Vu(y) =- w(y) - Y Vu(y) =- w(y) - Y néu Well) Y néu Well) =- Y Thl VuE c1 (Rn, R)
Ta kĩm tra hai dieu kĩn d~u cua dinh nghla (2.3)
Voi mQi v E G, guy ra - y < Well)< y rhea dinh nghla cua Vu, ta co Vu(v) < Ọ
Do do dieu kĩn (i) duQc kĩm tra Vu(u)=y-y=O Do do dieu kĩn (ii) duQc kĩm trạ NéutEl va u ERn, IUI ~ P voi S E I Taco Iw(x(s))1 ~ y=Iw(u)\
Tli 2.15), guyra
(w'(u),f(t,u)) < 0Bdi dinh nghla cua Vu,guy fa Bdi dinh nghla cua Vu,guy fa
(V~ (u), fer, U)) =I;0
Do d6 dieu kĩn (iii) dff du<;Jckĩm tra V~y tfnh chát duQc chung minh
*) Tli day v~ gall, ta giii slYf la ham 1- tũn hoan rhea t
f (1,.)
Do do chung ta co th~ ma rQng f Wi R x C bai 1 - tũn hÕlll,v~n 1a anh x~ lien t1;1cma biém nhiíng t~p bi ch~n thanh nhiíng t~p bi ch~n, va cling ma rQng X de"n khong gian.
{x E C (R, Rn): x(t) =x(t+1), voi t E R} va cling co chuffn nhu trúoc
Tinh chát 2.7 :
Gia sa t6n t~i IDQtt~p bien ng~t G cho bai loan (2.1) dinh nghia[""={x E C (Ir, Rn) : x (t) E G, tEl}, c X, thl[""labi ch~n va x Ea[""nC1 [""={x E C (Ir, Rn) : x (t) E G, tEl}, c X, thl[""labi ch~n va x Ea[""nC1 (R, Rn) voi, x la nghĩID (néu co) cua
{
x1(t) = Af(t,x), tEl, A E]O,I], If =[-r,I] (*)
x(o) = xCI)
Chung minh
Láy x E C (In Rn)n Cl(R, Rn) 1a mQt nghĩm (néu co) cua (*). Dung phan chung, gia sa x E a [""n Cl(R, Rn), vdi A E ] 0,1] thl xCI) c r va co t' E I sao cho x(t') E aG, bai t' *0 va t' *1, guyra